Русская Википедия:Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Формулировка теоремы

Будем предполагать, что <math>\xi_1, \xi_2 . . .</math> последовательность независимых случайных величин, <math>S_n = \xi_1 + \xi_2 + . . . + \xi_n</math> и <math>A</math> — множество тех элементарных исходов <math>\omega</math>, где ряд <math>\sum \xi_n (\omega)</math> сходится к конечному пределу.

Первая часть

Пусть <math>M\xi_n = 0, n \geqslant 1</math>. Тогда, если <math>\sum M \xi_n^2 < \infty </math>, то ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится с вероятностью единица.

Вторая часть

Если к тому же случайные величины <math>\xi_n, n \geqslant 1</math> равномерно ограничены: <math>P(|\xi_n| \leqslant c) = 1, c < \infty </math>, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда <math>\sum \xi_n </math> следует первая часть.

Доказательство

Первой части

Последовательность <math>(S_n), n \geqslant 1</math>, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единицаШаблон:Sfn, то есть Шаблон:EF

В силу неравенства Колмогорова:

<math> P\{\sup_{k \geqslant 1}|S_{n+k}-S_n| \geqslant \varepsilon\} = \lim_{n \rightarrow \infty} P \{\max_{1 \leqslant k \leqslant N} |S_{n+k}-S_n| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=n}^{n+N} M\xi_k^2}{\varepsilon^2} = \frac{\sum_{k=n}^{\infty} M\xi_k^2}{\varepsilon^2}</math>

Поэтому, если <math>\sum_{k=1}^{\infty} M \xi_k^2 < \infty</math>, то выполнено Шаблон:Eqref, следовательно, ряд <math> \sum \xi_k</math> сходится с вероятностью единица.

Второй части

Пусть ряд <math>\sum \xi_k</math> сходится. Тогда в силу Шаблон:Eqref для достаточно больших <math>n</math>: Шаблон:EF В силу неравенства Колмогорова <math>P\{\sup_{k \geqslant 1} |S_{n+k} - S_n| \geqslant \varepsilon \} \geqslant 1 - \frac{(c+\varepsilon )^2}{\sum_{k=n}^{\infty} M \xi_k^2} </math>.

Поэтому, если допустить, что <math>\sum_{k=1}^{\infty}M\xi_k^2 = \infty</math>, то получим

<math>P\{\sup_{k \geqslant 1} |S_{n+k} - S_n| \geqslant \varepsilon \} =1 </math>, что противоречит Шаблон:Eqref <math></math>.

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)