Русская Википедия:Теорема Котельникова

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию Шаблон:S состоящую из частот Шаблон:S Шаблон:S можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом менее чем через Шаблон:S»Шаблон:Sfn.

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот <math>0 < \omega < \omega_1</math>, где <math>\omega = 2\pi f</math>[1].

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой <math>f_c</math>».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия[2][3]:

  • любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой <math>f > 2f_c</math>, где <math>f_c</math> — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;
  • если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует[4].

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал <math>x(t)</math> можно представить в виде интерполяционного ряда:

<math>x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta) \operatorname{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta}(t - k\Delta)\right],</math>

где <math>\operatorname{sinc}(x) = \sin(x)/x</math> — функция Шаблон:Math. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям <math>0 < \Delta \leqslant \frac{1}{2f_c}</math>. Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала <math>x(k\Delta)</math>.

История

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Шаблон:Lang» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Шаблон:Iw получил тот же результат[5]. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом[6][7]: «Любую функцию <math>f(t)</math>, состоящую из частот Шаблон:S Шаблон:S можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через Шаблон:S». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон[8], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов[9]. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем[10].

Вариации и обобщения

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов[11][12]. Так, вместо кардинального ряда по функциям Шаблон:Math, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций Шаблон:Math. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции <math>x(t)</math> с финитным спектром <math>(\operatorname{supp} \hat{x} = [-f_c, f_c])</math> на основе преобразований Фурье атомарных функций[13]:

<math>x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta) \prod_{n=1}^M \operatorname{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1} \Delta} (t - k\Delta)\right],</math>

где параметры <math>a</math> и <math>M</math> удовлетворяют неравенству <math>a^{M-1} (a - 2) + 1 > 0</math>, а интервал дискретизации:

<math>0 < \Delta \leqslant \frac{1}{2f_c} \left[1 + \frac{a^{M-1} + 1}{a^{M-1} (a - 1)}\right].</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
  • Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
  • Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:Методы сжатия Шаблон:DSP

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
  2. ↑ Джон К. Беллами. Цифровая телефония. — Радио и связь, 1986.
  3. ↑ Гитлиц М. В., Лев А. Ю. Теоретические основы многоканальной связи. — М.: Радио и связь, 1985.
  4. ↑ Зиатдинов С. И. / Восстановление сигналов по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова Шаблон:Wayback. — Приборостроение (№ 5, 2010). — УДК 621.396:681.323.
  5. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation).
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Харкевич А. А. Спектры и анализ — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89.
  8. ↑ C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.
  9. ↑ К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича Шаблон:Wayback.
  10. ↑ Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002. Шаблон:DOI.
  11. ↑ Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.
  12. ↑ Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.
  13. ↑ Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Котельникова&oldid=10919747