Русская Википедия:Теорема Коши — Пуанкаре

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Формулировка

Пусть <math>M</math> — комплексное многообразие (комплексной) размерности <math>n</math> и <math>\omega</math> — голоморфная форма степени <math>n</math> на этом многообразии. Тогда интеграл от <math>\omega</math> по границе любой <math>(n+1)</math> — мерной цепи <math>\sigma \subset M</math> равен нулю: <math>\int\limits_{d\sigma} \omega = 0</math>

Доказательство

В локальных координатах <math>(z, \bar{z})</math>, действующих в окрестности <math>U \subset M</math>, голоморфная форма имеет вид: <math>\omega = f(z) dz_{1} \wedge ... \wedge dz_{n}</math>, где <math>f</math> — голоморфная в <math>U</math> функция. В силу голоморфности <math>\bar{\partial}f=0</math> и, значит <math>df = \partial f = \sum_{\mu=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial z_{\mu}}dz_{\mu}</math>; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что <math>d\omega=df \wedge dz_{1} \wedge ...\wedge dz_{n}=0</math>, то есть что форма <math>\omega</math> замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы <math>\omega (d\omega = 0)</math> по границе <math>\sigma = \partial \sigma^{'}</math> равен нулю: <math>\int\limits_{\sigma} \omega = \int\limits_{\partial \sigma^{'}}d\omega = 0</math>. Поэтому мы заключаем, что интеграл <math>\int\limits_{d\sigma} \omega = 0</math> равен нулю.

Литература

• Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985