Русская Википедия:Теорема Коши (теория групп)
Шаблон:Другие значения Теорема Коши в теории групп гласит: Шаблон:Рамка Если порядок конечной группы <math>G</math> делится на простое число <math>p</math>, то <math>G</math> содержит элементы порядка <math>p</math>. Шаблон:Конец рамки
Она тесно связана с теоремой Лагранжа, в силу которой порядок любой конечной группы Шаблон:Mvar делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя Шаблон:Mvar порядка группы Шаблон:Mvar, существует подгруппа, чей порядок равен Шаблон:Mvar. Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.
Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова, в соответствии с которой, если Шаблон:MvarШаблон:Mvar является максимальной степенью Шаблон:Mvar, на которую делится порядок группы Шаблон:Mvar, то Шаблон:Mvar имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка Шаблон:MvarШаблон:Mvar разрешима, можно показать, что Шаблон:Mvar содержит подгруппы любого порядка Шаблон:MvarШаблон:Mvar, для которого <math>r\leq n.</math>
Доказательство
Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости, но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы.Шаблон:Sfn
Вариант 1
Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа Шаблон:Mvar абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по Шаблон:Mvar = |Шаблон:Mvar|, начиная с Шаблон:Mvar = Шаблон:Mvar. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок Шаблон:Mvar.
Если Шаблон:Mvar абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент Шаблон:Mvar и порождённую им циклическую подгруппу Шаблон:Mvar. Если Шаблон:Mvar делит |Шаблон:Mvar|, то Шаблон:Mvar|Шаблон:Mvar|/Шаблон:Mvar является искомым элементом порядка Шаблон:Mvar. Иначе Шаблон:Mvar делит не порядок |Шаблон:Mvar|, а порядок [[[:Шаблон:Mvar]]:Шаблон:Mvar] факторгруппы Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка Шаблон:Mvar. Им является один из классов Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar лежит в Шаблон:Mvar. Если он имеет порядок Шаблон:Mvar в группе Шаблон:Mvar, то <math>m\vdots p</math>: благодаря тому, что в группе Шаблон:Mvar Шаблон:MvarШаблон:Mvar = Шаблон:Mvar, (Шаблон:Mvar)Шаблон:Mvar = Шаблон:Mvar в факторгруппе Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar. Поэтому Шаблон:Mvar делит Шаблон:Mvar; аналогично Шаблон:MvarШаблон:Mvar/Шаблон:Mvar окажется элементом порядка Шаблон:Mvar в группе Шаблон:Mvar, что заканчивает доказательство в абелевом случае.
В общем случае пусть группа Шаблон:Mvar является центром группы Шаблон:Mvar. Тогда Шаблон:Mvar окажется абелевой. Если её порядок кратен Шаблон:Mvar,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка Шаблон:Mvar. Значит, этот элемент имеет порядок Шаблон:Mvar и в группе Шаблон:Mvar. Иначе Шаблон:Mvar не делит Шаблон:Mvar. Так как Шаблон:Mvar делит |Шаблон:Mvar|, а Шаблон:Mvar разбивается на Шаблон:Mvar и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент Шаблон:Mvar, размер чьего класса не делится на Шаблон:Mvar. Но легко показать, что его размер равен [[[:Шаблон:Mvar]] : Шаблон:MvarШаблон:Mvar(Шаблон:Mvar)] и не кратен Шаблон:Mvar. Поэтому Шаблон:Mvar делит порядок не совпадающего с группой Шаблон:Mvar централизатора Шаблон:MvarШаблон:Mvar(Шаблон:Mvar) элемента Шаблон:Mvar в группе Шаблон:Mvar. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка Шаблон:Mvar, что и требовалось доказать.
Вариант 2
В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка Шаблон:Mvar порождает только орбиты размеров 1 и Шаблон:Mvar, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.
Подействуем нашей группой на множество решений уравнения
- <math> X = \{\,(x_1,\ldots,x_p) \in G^p : x_1x_2\cdots x_p = e\, \} </math>
т.е. на множество последовательностей из Шаблон:Mvar элементов группы Шаблон:Mvar, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти Шаблон:Nobreak элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве Шаблон:Mvar имеется |Шаблон:Mvar|Шаблон:Mvar−1 элементов, и их количество кратно Шаблон:Mvar.
Теперь заметим, что в группе Шаблон:Mvar = Шаблон:Mvar, если и только если Шаблон:Mvar = Шаблон:Mvar. Поэтому, если <math>x_1x_2\cdots x_p = e</math>, то <math>x_2\cdots x_px_1 = e</math>. Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества Шаблон:Mvar снова породят элементы Шаблон:Mvar. Это позволяет задать действие циклической группы Шаблон:MvarШаблон:Mvar порядка Шаблон:Mvar на множестве Шаблон:Mvar с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу Шаблон:MvarШаблон:Mvar элемент переводит
- <math>(x_1,x_2,\ldots,x_p)\mapsto(x_2,\ldots,x_p,x_1)</math>.
Очевидно, при таком действии орбиты в Шаблон:Mvar имеют размеры 1 или Шаблон:Mvar. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид <math>(x,x,\ldots,x)</math> и <math>x^p=e</math>. Так как количество элементов Шаблон:Mvar равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов <math>x</math>, для которых <math>x^p=e</math>, кратно Шаблон:Mvar. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы <math>p</math> элементов, хотя бы Шаблон:Nobreak из которых не равен единичному, а имеет порядок Шаблон:Mvar. Теорема доказана.
Применения
Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами, где Шаблон:Mvar — простое число. Именно, конечная группа Шаблон:Mvar является Шаблон:Mvar-группой (т.е. порядкт всех элементов — точные степени Шаблон:Mvar), если и только если порядок группы сам является степенью Шаблон:Mvar. Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, Шаблон:Sfn так же, как в первом доказательстве, существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.
Пример
Шаблон:Нет сносок Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе Шаблон:Mvar все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если Шаблон:Math, то Шаблон:Mvar сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент Шаблон:Math, и циклическая группа <math>\langle a \rangle</math> является неединичной подгруппой Шаблон:Mvar. Значит, <math>G = \langle a \rangle.</math> Пусть теперь порядок группы <math>\langle a \rangle</math> равен Шаблон:Mvar. Если он бесконечен, то
- <math>G = \langle a \rangle \supsetneqq \langle a^2 \rangle \supsetneqq \{e\},</math> что невозможно.
Значит, Шаблон:Mvar конечно. Если Шаблон:Mvar составное, то оно кратно простому Шаблон:Mvar, меньшему Шаблон:Mvar. Но тогда существует подгруппа Шаблон:Mvar порядка Шаблон:Mvar, что противоречит условию. Значит, Шаблон:Mvar просто.
Примечания
Литература
