Русская Википедия:Теорема Крылова — Боголюбова
Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов
Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в[3]).
Динамическая формулировка
Пусть <math> F</math> — непрерывное отображение метрического компакта <math> X</math> в себя. Тогда на <math>X</math> существует хотя бы одна <math>F</math>-инвариантная мера <math>\mu</math>, которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодическойШаблон:Sfn.
Замечания
- Условие <math>F</math>-инвариантности, <math>F_*\mu=\mu</math>, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
- <math>
\forall A\in \mathcal{B}(X) \quad \mu(F^{-1}(A))=\mu(A); </math>
- при этом в случае необратимого отображения <math>F</math> мера <math>F(A)</math> не обязана равняться мере <math>A</math>.
- Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности <math>x\mapsto 2x \mod 1</math>, однако мера дуги <math>\left[0, \frac13\right]</math> не равна мере её образа, дуги <math>\left[0, \frac23\right]</math>.
Доказательство
Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.
А именно, берётся произвольная начальная мера <math>\mu_0</math>, и рассматривается последовательность её временных средних:
- <math>
\bar{\mu}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F_*^j(\mu_0). </math> Временные средние являются всё более и более <math>F</math>-инвариантными:
- <math>
F_* \bar{\mu}_n = \bar{\mu}_n + \frac{1}{n}(F_*^n(\mu_0)-\mu_0). </math> Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения <math>F</math>. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте <math>F</math> компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности <math>\bar{\mu}_n</math> найдётся — что и завершает доказательство. Шаблон:Ч.т.д.
Замечания
- В случае, если в качестве меры <math>\mu_0</math> берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности <math>\bar{\mu}_n</math> соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.
Формулировка для марковских процессов
Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть
- <math>\Pr [ X_{t} \in A | X_{0} = x ] = P_{t} (x, A).</math>
Если существует <math>x\in X</math>, для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что
- <math>(P_{t})_{\ast} (\mu) = \mu, \quad\forall t > 0.</math>
Вариации и обобщения
- Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.
Ссылки
Литература
- ↑ Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
- ↑ Шаблон:Статья Zbl. 16.86.
- ↑ «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.
