Русская Википедия:Теорема Куранта — Фишера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Не путать Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе.

Формулировка

<math> \lambda_k = \inf\limits_{L_k} \sup\limits_{x \in L_k \cap S} \frac{(Ax,x)}{(x,x)} </math>

<math>A</math> — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

<math>S</math> — единичная сфера,

<math> e = e_1\dots e_n </math> — ортонормированный базис пространства <math>V</math>, состоящий из собственных векторов оператора <math>A </math>,

<math>\lambda_k</math> — <math>k</math>-ое собственное значение оператора <math>A</math> и <math>\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n</math>

<math>L_k</math> — <math>k</math>-мерное подпространство <math>V</math>.

Доказательство

<math>p = n - k + 1</math>,
<math>L_k</math> — <math>k</math>-мерное подпространство <math>V</math>,
<math>W_{n-k+1}</math> — линейная оболочка векторов <math>e_k \dots e_n</math>.
<math>\dim L_k + \dim W_{n-k+1} = n+1</math>.
Откуда следует, что <math>L_k \cap W_{n-k+1} \neq Шаблон:\varnothing</math>. Пусть <math>x_0 \in L_k \cap W_{n-k+1}</math> и <math>\ \|x_0\| = 1 </math>.
Так как <math>\lambda_k = \sup\limits_{x \in L_k \cap S} (Ax, x), </math> то <math>\frac{(Ax_0, x_0)}{(x_0, x_0)} \le \lambda_k</math>.
С другой стороны: так как <math> x_0 \in L_k</math> то

<math> \inf\limits_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) \le \lambda_k </math>

<math> \sup\limits_{L_k} \inf\limits_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) \le \lambda_k </math>

Равенство достигается при <math> L_k = L({e_1 \dots e_k}) </math>.

Дополнительно

Очевидно, что <math>\sup\limits_{L_k} \inf\limits_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) = \inf\limits_{L_{n-k+1}} \sup\limits_{x \in L_{n-k+1} \cap S} (Ax, x)</math>.

Литература

1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
2. Ланкстер. Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия