Русская Википедия:Теорема Кэли (теория групп)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теорема Кэли — теоретико-групповое утверждение об изоморфности всякой конечной группы <math>(G_n,\circ)</math> порядка <math>n</math> некоторой подгруппе группы перестановок <math>S_n</math>. При таком соответствии каждый элемент <math>a \in G</math> сопоставляется с перестановкой <math>\pi_a</math>, задаваемой тождеством <math>\pi_a(g)=a \circ g</math>, где <math>g</math> — произвольный элемент группы <math>G</math>.

Например, для группы <math>G = \mathbb{Z}_4</math> с заданной операцией <math>+</math> можно определить отображение <math>\varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4</math>:

<math> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} </math>

<math> \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} </math>

<math> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>

<math> \varphi(3)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

В данном построении перестановка <math>\varphi(n)</math> для каждого <math>n</math> задаёт «таблицу сложения» с числом <math>n</math>, например, число 2 в <math>\varphi(1)</math> переходит на сумму (операцию группы <math>G = \mathbb{Z}_4</math>) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, <math>\varphi(0)</math> задаёт тождественное отображение <math>\mathrm{id}_G(g) = g</math>, и отображение <math>\varphi</math> является гомоморфизмом.

Теоретико-категорное обобщение — лемма Йонеды (в её рамках группа может быть рассмотрена как категория из одного объекта).

Литература

• Шаблон:Книга
• Книга:Общая алгебра