Русская Википедия:Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени <math>n=2</math>. Поскольку числа вида <math>4^m(8n+7),</math> где <math>\overline{m,n}=\overline{0,1,2,\;\ldots}</math>, непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди <math>G(2)=4</math>.

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа <math>N</math> с помощью <math>O(N^2\log_{2}{N})</math> арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов.

Примеры:

<math> 3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2</math>

<math> 31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2</math>

<math>310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2</math>

<math> 9 = 3^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2</math>

Примечания

Внешние ссылки