Русская Википедия:Теорема Лагранжа (теория групп)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит: Шаблон:Рамка Пусть группа G конечна, и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс подгруппы). Шаблон:Конец рамки

Следствия

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы <math>H</math> в <math>G</math> одинаково и называется индексом подгруппы <math>H</math> в <math>G</math> (обозначается <math>[G:H]</math>).
2. Порядок любой подгруппы конечной группы <math>G</math> делит порядок <math>G</math>.
3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы <math>G</math> делит порядок <math>G</math>. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
4. Группа порядка <math>p</math>, где <math>p</math> — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок <math>p</math>, и значит, каждый из них порождает группу.)

История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также

• Теоремы Силова