Русская Википедия:Теорема Лакса — Мильграма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

Формулировка

Пусть

• <math>\mathcal{H}</math> является гильбертовым пространством со скалярным произведением <math>\langle\cdot,\cdot\rangle,</math> и ассоциированной нормой <math>\|\cdot\|</math>
• <math>a(\cdot\, ,\,\cdot)</math> является билинейной формой, которая:
  • непрерывна
  • коэрцитивна в <math>\mathcal{H}</math> (иногда используется термин <math>\mathcal{H}</math>-эллиптичность); то есть, <math>\exists\,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2</math>
• L является непрерывной линейной формой в <math>\mathcal{H}</math>.

Тогда существует единственный элемент <math>u \in \mathcal{H}</math>, такой, что равенство

<math>a(u,v) = L(v)</math>

выполняется для всех <math>v \in \mathcal{H}</math>:

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса