Русская Википедия:Теорема Лапласа
Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
Формулировка
Для начала введём несколько определений.
Пусть <math>A=(a_{ij})</math> — матрица размера <math>n \times n</math>, и пусть выбраны любые <math>k</math> строк матрицы <math>A</math> с номерами <math>i_1 < i_2 < \ldots < i_k</math> и любые <math>k</math> столбцов с номерами <math>j_1 < j_2 < \ldots < j_k</math>.
Определитель матрицы, получаемой из <math>A</math> вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором <math>k</math>-го порядка, расположенным в строках с номерами <math>i_1, i_2, \ldots, i_k</math> и столбцах с номерами <math>j_1, j_2, \ldots, j_k</math>. Он обозначается следующим образом:
- <math>
M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = \det \begin{pmatrix}
a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \ldots & a_{i_1 j_k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \ldots & a_{i_k j_k}
\end{pmatrix}. </math>
А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору <math>M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k}</math>:
- <math>
\overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k}
= \det \begin{pmatrix}
a_{i_{k+1} j_{k+1}} & a_{i_{k+1} j_{k+2}} & \ldots & a_{i_{k+1} j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_n j_{k+1}} & a_{i_n j_{k+2}} & \ldots & a_{i_n j_n}
\end{pmatrix}, </math> где <math>i_{k+1} < \ldots < i_n</math> и <math>j_{k+1} < \ldots < j_n</math> — номера невыбранных строк и столбцов.
Алгебраическое дополнение минора <math>M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k}</math> определяется следующим образом:
- <math>A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = (-1)^{p+q} \overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k}</math>
где <math>p = i_1 + \ldots + i_k</math>, <math>q = j_1 + \ldots + j_k</math>.
Справедливо следующее утверждение. Шаблон:Теорема Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать <math>k</math> столбцов из <math>n</math>, то есть биномиальному коэффициенту <math>\textstyle {n \choose k}</math>.
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть <math>A = (a_{ij})</math> — квадратная матрица размера <math>n \times n</math>. Пусть также задан некоторый номер строки <math>i</math> либо номер столбца <math>j</math> матрицы <math>A</math>. Тогда определитель <math>A</math> может быть вычислен по следующим формулам: Шаблон:Теорема где <math>A_{ij}</math> — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером <math>i</math> и столбце с номером <math>j</math>. <math>A_{ij}</math> также называют алгебраическим дополнением к элементу <math>a_{ij}</math>.
Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить <math>k</math> равным 1 и выбрать <math>i</math>-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.
Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)
Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы <math>A</math> на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.
Примечания
Литература
