Русская Википедия:Теорема Левинсона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Формулировка теоремы

Пусть решения системы

<math> \frac{dx}{dt} = Ax,\quad (1)</math>

где <math>A </math> — постоянная <math>(n\times n)</math>-матрица, ограничены на <math>[0,\infty) </math>. Тогда система

<math> \frac{dy}{dt} = [A + B(t)]y, \quad (2)</math>

где <math> B(t)\in C[0,\infty) </math>и <math> \int_{0}^{\infty} \lVert B(t) \rVert\, dt < \infty , \quad (3)</math>

асимптотически эквивалентна системе <math>\quad (1)</math>.

Доказательство

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру )

Поскольку решения системы <math>\quad (1)</math> ограничены, то характеристические корни <math> \lambda\ (A)</math> матрицы <math>A </math>  удовлетворяют равенству

<math> Re \lambda\ (A)\le \ 0 ,</math>

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица <math>A </math>  имеет квазидиагональный вид

<math> \quad A = diag (A_1,A_2), \quad (4) </math>

где <math>\quad A_1 </math>  и <math>\quad A_2</math> -- соответственно, <math>(p\times p)</math>- и <math>(q\times q)</math>-матрицы <math>\quad (p + q)</math> такие, что

<math> Re \lambda\ (A_1)< - \alpha < \ 0 ,</math>

<math> Re \lambda\ (A_2) = 0 , \quad (5)</math>

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований <math> \xi\ = S \boldsymbol{x} ,</math> и <math> \eta\ = S \boldsymbol{y},</math> где <math>\quad S </math> — постоянная <math>(n\times n)</math>-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми <math>\boldsymbol{\xi}(t)\Longleftrightarrow \boldsymbol{\eta}(t)</math> индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми <math>\boldsymbol{x}(t)= S^{-1} \xi(t) \Longleftrightarrow S^{-1} \eta(t) = \boldsymbol{y}(t)</math>.

Кроме того, из предельного отношения <math>\boldsymbol{\xi}(t)- \boldsymbol{\eta}(t) \to 0 ,</math> при <math>t \to \infty</math> очевидно, следует предельное отношение

<math>\boldsymbol{x}(t)- \boldsymbol{y}(t) \to 0 ,</math> при <math>t \to \infty</math>.

<math>\quad 1)</math>  Пусть  <math> \quad X(t) = diag (e^{tA_1},e^{tA_2})</math> -- фундаментальная матрица системы <math>\quad (1),</math> нормированная в нуле: <math>\quad X(t) = E, </math> а <math>\quad I_1 = diag(E_p,0), </math> и <math>\quad I_2 = diag(0,E_q), </math> где <math>\quad E_q</math> и <math>\quad E_p</math> -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, <math>\quad I_1 + I_2 = E_n. </math>

Положим <math>\quad X(t) = X_1(t) + X_2(t), </math> где <math>\quad X_1(t) = X(t)I_1 \equiv diag (e^{tA_1},0), </math> и <math>\quad X_2(t) = X(t)I_2 \equiv diag(0,e^{tA_2}) </math>.

Отсюда матрицу Коши <math>\quad K(t,\tau) \equiv X(t)X^{-1}(\tau)=X(t-\tau)</math> можно представить в виде:

<math>\quad K(t,\tau) = X_1(t-\tau) + X_2(t-\tau), </math>

причем при условии <math>\quad (5)</math> имеем

<math> \lVert X_1(t)\rVert = \lVert e^{tA_1} \rVert \le ae^{- \alpha t} ,</math>

при <math>0 \le t < \infty</math>   <math>\quad (6)</math> и

<math> \lVert X_2(t)\rVert = \lVert e^{tA_2} \rVert \le b ,</math>

 при <math>- \infty < t < \infty</math> <math>\quad (7), </math> где <math> \quad a, b</math> - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

<math>\quad y(t) = X(t-t_0)\boldsymbol{y}(t_0) + \int_{t_0}^{t} X_1(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau + </math><math>\int_{t_0}^{t} X_2(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau ,</math> где <math>t \in [0,\infty) </math>  произвольное.

Поскольку матрица <math>\quad B(t)</math> абсолютно интегрирована на <math>[0,\infty),</math> то все решения <math>\boldsymbol{y}(t)</math> системы <math>\quad (2)</math> ограничены на <math>[0,\infty),</math>

и поэтому несобственный интеграл <math>\int_{t_0}^{\infty} X_2(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau</math> является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что <math> \quad X_2(t- \tau) = X(t- \tau)I_2 = X(t-t_0)X(t_0- \tau)I_2 = X(t-t_0)X_2(t_0- \tau),</math> наше интегральное уравнение можно представить в виде

<math>\quad y(t) = X(t-t_0) \left \lbrack \boldsymbol{y}(t_0) + \int_{t_0}^{\infty} X_2(t_0- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau \right \rbrack + </math><math>+ \int_{t_0}^{t} X_1(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau - \int_{t}^{\infty} X_2(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau (8)</math>

Решению <math>\quad \boldsymbol{y}(t)</math> системы <math>\quad (2)</math> с начальным условием <math>\quad \boldsymbol{y}(t_0) = \boldsymbol{y_0}</math> сопоставим решение <math>\quad \boldsymbol{x}(t)</math> системы <math>\quad (1)</math> с начальным условием

<math>\quad \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{y_0}(t_0) + \int_{t_0}^{\infty} X_2(t- \tau)B(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau (9)</math>

Поскольку решения <math>\quad \boldsymbol{x}(t) </math> и <math>\quad \boldsymbol{y}(t)</math> полностью определяются своими начальными условиями, то формула <math>\quad (9)</math> устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений <math> \lbrace \boldsymbol{y}(t) \rbrace </math> системы <math>\quad (2)</math> и множеством решений <math> \lbrace \boldsymbol{x}(t) \rbrace </math> (или ее частью) системы <math>\quad (1)</math>. Заметим, что отношение <math>\quad (9)</math> непрерывное относительно начального значения<math>\quad \boldsymbol{y}(t_0) = \boldsymbol{y_0} .</math>

<math>\quad 2)</math>  Покажем, что соответствие между решениями <math>\quad \boldsymbol{x}(t) </math> и <math>\quad \boldsymbol{y}(t),</math> что определяется формулой <math>\quad (9),</math> является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений <math> \lbrace \boldsymbol{x}(t) \rbrace </math>.

Пусть <math>\quad Y(t) </math> -- фундаментальная матрица системы <math>\quad (1)</math> такая, что <math>\quad Y(t_0) = E</math>. Имеем

<math> Y(t) = X(t - t_0) + \int_{t_0}^{t} X(t - \tau)B(\tau)Y(\tau)\, d \tau .</math>

Но из неравенств <math>\quad (6), (7)</math> следует <math>\lVert X(t-t_0)\rVert \le max(a,b)=c,</math>   при <math>t \ge t_0</math>; поэтому

<math> \lVert Y(t)\rVert \ge c + \int_{t_0}^{t} c \lVert B(\tau)\rVert \lVert Y(\tau)\rVert \, d \tau </math>

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

<math>\lVert Y(t)\rVert \ge c \, \exp ( \int_{t_0}^{t} c \lVert B(\tau)\rVert\, d \tau ) \ge c \, \exp ( c \int_{0}^{\infty} \lVert B(\tau)\rVert\, d \tau ) = k,\quad</math>

при<math>t_0 \ge t < \infty \qquad (10),</math>

причем константа <math> \quad k</math> по оценке <math> \quad (10)</math> не зависит от выбора начального момента <math>t_0 (t_0 \le 0).</math>

Очевидно, имеем <math>\boldsymbol{y}(t) = Y(t)\boldsymbol{y}(t_0).</math>

Поэтому из формулы <math>\quad (9)</math> получаем <math>\boldsymbol{y}(t_0) = \lbrack E + Z(t_0) \rbrack \boldsymbol{y}(t_0), \quad</math> где <math>Z(t_0) = \int_{t_0}^{\infty} X_2(t_0- \tau)B(\tau)Y(\tau)\, d \tau ,\quad</math> причем на основе <math>\quad (7), (10)</math> выводим

<math>\lVert Z(t_0) \rVert \ge \int_{t_0}^{\infty} \lVert X_2(t_0- \tau)\rVert \lVert B(\tau)\rVert \lVert Y(\tau) \rVert\, d \tau \ge bk \int_{t_0}^{\infty} \lVert B(\tau)\rVert \, d \tau \quad (12).</math>

Поскольку матрица <math>\quad B(t)</math> абсолютно интегрирована на <math>\quad [0, \infty)</math>, то <math>\int_{t_0}^{\infty} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \to 0 </math> при <math>t_0 \to \infty </math>, следовательно, в силу <math>\quad (12)</math> начальный момент <math>\quad t_0</math> можно выбрать настолько большим, чтобы имело место <math> \det \lbrack E + Z(t_0) \rbrack > 0. (13)</math> В дальнейшем <math>\quad t_0 \quad</math> будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства <math>\quad (13)</math>. Отсюда и из формулы <math>\quad (11)</math> выводим

<math>\boldsymbol{y}(t_0) = \lbrack E + Z(t_0) \rbrack ^-1 \boldsymbol{x}(t_0). \qquad (14) </math>

Поскольку формулы <math>\quad (11)</math> и <math>\quad (14)</math> равносильны, то для каждого решения <math>\quad \boldsymbol{x}(t) </math> системы <math>\quad (1)</math> с начальным условием<math>\boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x_0} \quad</math> найдется только одно решение <math>\boldsymbol{y}(t) \quad</math> системы <math>\quad (2),</math> которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие <math>\boldsymbol{y}(t_0)\quad</math> которого определяется формулой<math>\quad (14).</math>

Соответствие между решениями <math>\boldsymbol{x}(t) </math> и <math>\boldsymbol{y}(t) </math>, которое устанавливается формулами <math>\quad (11)</math> и <math>\quad (14),\quad</math> -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению <math>\boldsymbol{y}(t) </math> соответствует одно и только одно решение <math>\boldsymbol{x}(t)\quad</math>, и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению <math>\boldsymbol{y}\equiv 0 \quad</math> соответствует тривиальное решение <math>\boldsymbol{x}\equiv 0 \quad</math> и в силу линейности соотношений <math>\quad (11)</math> и <math>\quad (14)</math> различными решениям <math>\boldsymbol{y_1}(t)</math> и <math>\boldsymbol{y_2}(t)\quad</math> системы <math>\quad (2),</math> отвечают разные решения <math>\boldsymbol{x_1}(t)\quad</math> и <math>\boldsymbol{x_2}(t)\quad</math> системы <math>\quad (1),</math> и наоборот.

Для соответствующих решений <math>\boldsymbol{x}(t) \quad </math> и <math>\boldsymbol{y}(t) \quad</math> оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

<math>\boldsymbol{x}(t) = X(t - t_0)\boldsymbol{x}(t_0), \qquad</math> где <math>\boldsymbol{x}(t_0) </math> определяется формулой <math>\quad (9)</math>, то из формулы <math>\quad (8)</math> имеем

<math>\boldsymbol{y}(t) - \boldsymbol{x}(t) = \int_{t_0}^{t} X_1(t-\tau)B(\tau) \boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau - \int_{t}^{\infty} X_2(t-\tau) B(\tau) \boldsymbol{y}(\tau)\, d \tau.</math>

Отсюда, учитывая, что

<math>\lVert \boldsymbol{y}(t) \rVert = \lVert Y(t) \boldsymbol{y}(t_0) \lVert \le \lVert Y(t) \rVert \lVert \boldsymbol{y}(t_0) \rVert \le k \, \lVert \boldsymbol{y}(t_0) \rVert,</math> при <math> t \ge t_0, </math>

на основе оценок <math>\quad (6)</math> и <math>\quad (7)</math> получаем

<math>\lVert \boldsymbol{y}(t) - \boldsymbol{x}(t) \rVert \le \int_{t_0}^{t} \lVert X_1(t-\tau) \rVert \lVert B(\tau) \rVert \lVert \boldsymbol{y}(\tau) \, d \tau + \int_{t}^{\infty} \lVert X_2(t-\tau) \rVert \lVert B(\tau) \rVert \lVert \boldsymbol{y}(\tau) \, d \tau \le </math>

<math>\le ak\, \lVert \boldsymbol{y}(t_0) \lVert \int_{t_0}^{t} e^{- \alpha (t - \tau)} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \, + \, bk \, \lVert \boldsymbol{y}(t_0) \rVert \int_{t}^{\infty} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau. (15)</math>

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы <math>\quad B(t) </math> при <math>t \ge 2t_0</math> имеем<math>\int_{t_0}^{t} e^{- \alpha (t - \tau)} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau = \int_{t_0}^{\frac{t}{2}} e^{- \alpha (t - \tau)} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \, + \, \int_{\frac{t}{2}}^{t} e^{- \alpha (t - \tau)} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \le </math>

<math>\le e^{-\frac{\alpha t}{2}} \int_{0}^{\infty} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \, + \, \int_{\frac{t}{2}}^{t}\lVert B(\tau) \rVert \, d \tau \, < \varepsilon \, ,</math> если <math>\quad t > T.</math>

Итак,

<math>\lim\limits_{t \to \infty} \int_{t_0}^{t} e^{- \alpha (t - \tau)} \lVert B(\tau) \rVert \, d \tau = 0.</math>

Таким образом, из неравенства <math>\quad (15) </math>выводим <math> \lim\limits_{t \to \infty} [x(t) - y(t)] = 0,</math> то есть системы <math>\quad (1)</math> и <math>\quad (2)</math> асимптотически эквивалентны. Доказано.

См. также

• Лемма Гронуолла-Беллмана
• Асимптотически эквивалентные системы

Источники

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru(рус.)