Русская Википедия:Теорема Леви о непрерывности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка

Пусть <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math> последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины <math>X_n</math>, где <math>n \in \mathbb{N}</math>, символом <math>\varphi_n(t)</math>. Тогда если <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>, и <math>\varphi(t)</math> — характеристическая функция <math>X</math>, то

<math>\varphi_n(t) \to \varphi(t)\quad \forall t \in \mathbb{R}</math>.

Обратно, если <math>\varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\varphi \in C(0)</math> — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то <math>\varphi(t)</math> является характеристической функцией некоторой случайной величины <math>X</math>, и

<math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если <math>\varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\varphi_n(t)</math> — характеристическая функция <math>X_n</math>, и <math>\varphi(t)</math> — характеристическая функция <math>X</math>, то <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также

• Леви, Поль.
• Прямая и обратная предельная теорема.