Русская Википедия:Теорема Лежандра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка

Уравнение

<math>aX^2+bY^2+cZ^2=0,</math>

у которого не все коэффициенты одного знака и <math>a,b,c</math> — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах <math>(X,Y,Z)</math> тогда и только тогда, когда:

• <math>-ab</math> — квадратичный вычет по модулю <math>c</math>,
• <math>-bc</math> — квадратичный вычет по модулю <math>a</math>,
• <math>-ca</math> — квадратичный вычет по модулю <math>b</math>.

О доказательстве

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в <math>\mathbb{Q}</math> тогда и только тогда, когда она представляет нуль в <math>\mathbb{R}</math> и во всех полях <math>p</math>-адических чисел <math>\mathbb{Q}_p</math>. Для разрешимости в <math>\mathbb{R}</math> нужны разные знаки, для разрешимости в <math>\mathbb{Q}_p</math> для <math>p\mid abc</math> — вышеприведённые симметричные соотношения.

Связь с теоремой о четырех квадратах

Эта теорема может быть использована для доказательства теоремы Лагранжа о четырех квадратах , которая утверждает, что все натуральные числа могут быть записаны как сумма четырех квадратов. Гаусс  указал, что теорема о четырех квадратах легко вытекает из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2, является суммой 3 квадратов, поскольку любое положительное целое число, не делимое на 4, можно привести к этой форме путем вычитания. 0 или 1 из этого. Однако доказательство теоремы о трех квадратах значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы о четырех квадратах, в котором не используется теорема о трех квадратах. Действительно же, теорема о четырех квадратах была доказана ранее, в 1770 году.

Литература

• Шаблон:Книга