Русская Википедия:Теорема Ли

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Формулировка

Пусть <math>\pi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)</math> есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда <math>\pi(\mathfrak{g})</math> имеет инвариантный флаг подпространств <math>V = V_0 \supset V_1 \supset \cdots \supset V_n = 0, \operatorname{codim} V_i = i</math>; то есть <math>\pi(X) V_i \subset V_i</math> для каждого <math>X \in \mathfrak{g}</math> и i.

Замечания

• Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в <math>V</math> такой, что все линейные преобразования <math>\pi(\mathfrak{g})</math> задаются верхнетреугольными матрицami.
  • Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

• Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность <math>V</math> меньше характеристики поля.

Следствия

• Теорема применима к присоединенному представлению <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> (конечномерной) разрешимой алгебры ли <math>\mathfrak{g}</math>. Таким образом, можно выбрать базис в <math>\mathfrak{g}</math>, по отношению которого <math>\operatorname{ad}(\mathfrak{g})</math> состоит из верхних треугольных матриц.
  • Из этого следует, что для любых <math>x, y \in \mathfrak{g}</math>, <math>\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]</math> имеет нулевую диагональ; значит <math>\operatorname{ad}([x, y])</math> нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что <math>[\mathfrak g, \mathfrak g]</math> является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли <math>\mathfrak g</math> над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра <math>D \mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]</math> нильпотентна.

См. также

• Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли.
• Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.