Русская Википедия:Теорема Линника

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.

Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.

Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях.

Формулировка

Шаблон:Рамка Для взаимопростых чисел <math>a,d</math> <math>(a < d)</math> обозначим через <math>p(a,d)</math> минимальное число в прогрессии вида <math>a + n d, n=0,1,2,\dots</math>, являющееся простым.

Существуют такие абсолютные константы <math>c, L</math>, что для любых взаимопростых <math>a,d</math> <math>(a<d)</math> выполняется <math>p(a,d) < c d^L</math> Шаблон:Конец рамки

Другие свойства и гипотезы

Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что

<math>p(a,d) \le \varphi(d)^2 {(\ln d)}^2</math>,

где <math>\varphi</math> — функция Эйлера.

Существует также гипотеза, что <math>p(a,d) < d^2</math>

Улучшение оценок на показатель L

Показатель <math>L</math> в оценке <math>p(a,d) < c d^L</math> иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа Шаблон:Iw, однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Шаблон:Iw
5448	1958	Пан Ченгдонг
777	1965	Chen Jingrun
630	1971	Matti Jutila
550	1970	Matti Jutila
168	1977	Chen Jingrun
80	1977	Matti Jutila
36	1977	Шаблон:Iw
20	1981	Сидней Грэхем
17	1979	Chen Jingrun
16	1986	Вонг
13,5	1989	Chen Jingrun и Liu
8	1990	Вонг
5,5	1992	Шаблон:Iw
5,18	2009	Xylouris
5	2011	Xylouris

См. также

• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии