Русская Википедия:Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Если в голономной системе с <math>s</math> степенями свободы кинетическая энергия <math>T</math> имеет вид

<math>T=\frac{1}{2}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}(q_m)\dot{q}_{m}^{2}</math>

и потенциальная энергия <math>\Pi</math> имеет вид

<math>\Pi=\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\Pi_{m}(q_{m})</math>,

где <math>f=\sum_{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})</math>, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).Шаблон:Sfn

Доказательство

Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид:

<math>H = T + \Pi = \frac{1}{2}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}(q_m)\dot{q}_{m}^{2} +\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\Pi_{m}(q_{m}) = h</math>.

Обобщенные импульсы равны

<math>p_{m}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{m}} = f A_{m}(q_{m})\dot{q}_{m}</math>.

С учётом этого функция Гамильтона:

<math>H=\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\left [ \frac{p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_{m})} + \Pi_{m}(q_{m}) \right ] = h</math>.

Произведем замену <math>p_{m}=\frac{\partial W}{\partial q_{m}}</math>. Уравнение Гамильтона — Якоби примет видШаблон:Sfn:

<math>\sum_{m=1}^{s} \left [ \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W}{\partial q_{m}}\right)^2 + \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m}) \right ] = 0</math>.

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:

<math>W = W_{1}(q_{1}) + W_{2}(q_{2}) + ... + W_{s}(q_{s})</math>.

Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:

<math display="block">\sum_{m=1}^{s} \left [ \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W_{m}}{\partial q_{m}} \right )^{2} + \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m}) \right ] = 0 \qquad(1)</math>

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты <math>q_{m}</math>, поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:

<math> \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W_{m}}{\partial q_{m}} \right )^{2}+ \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m}) = \alpha_{m}</math>,

причем должно выполняться условие <math>\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... \alpha_{s} = 0</math>. Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:

<math>W_{m}=\int \sqrt{2A_{m}(q_{m}) \left [ \alpha_{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi_{m}(q_{m})\right ] } dq_{m}</math>.

Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:

<math>W = \sum_{m=1}^{s} \int \sqrt{2A_{m}(q_{m}) \left [ \alpha_{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi_{m}(q_{m})\right ] } dq_{m}</math>

Этот интеграл содержит <math>s</math> произвольных постоянных <math>h, \alpha_{1}, \alpha_{2}, ... , \alpha_{s-1}</math> и постоянную <math>\alpha_{s} = - ( \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{s-1} )</math>Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга