Русская Википедия:Теорема Ли — Колчина
Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.
Формулировка
Если G является связной разрешимой линейной алгебраической группой, определённой над алгебраически замкнутым полем, а
- <math>\rho\colon G \to GL(V)</math>
представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V, то имеется одномерное линейное подпространство L пространства V, такое что
- <math>\rho(G)(L) = L.</math>
То есть, <math>\rho(G)</math> имеет инвариантную прямую L, на которой G действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v, который является общим (одновременным) собственным вектором для всех <math> \rho(g), \,\, g \in G </math>.
Замечания
- Из теоремы немедленно следует, что любое неприводимое конечномерное представление связной разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность единица. Фактически, это другой способ утверждения теоремы Ли — Колчина.
- Теорема Ли утверждает, что любое ненулевое представление разрешимой алгебры Ли на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутом поле характеристики 0 имеет одномерное инвариантное подпространство.
- Аналогичный результат для алгебр Ли доказал Софус ЛиШаблон:Sfn, а для алгебраических групп доказал КолчинШаблон:Sfn.
- Шаблон:Не переведено 5 обобщает теорему Ли — Колчина.
Триангуляризация
Иногда эта теорема упоминается как Теорема Ли — Колчина о триангуляризации, поскольку по индукции из неё следует, что при подходящем базисе в V образ <math>\rho(G)</math> имеет треугольный вид. Другими словами, образ группы <math>\rho(G)</math> сопряжён в GL(n,K) (где n = dim V) в подгруппу группы T треугольных матриц, стандартной подгруппы Бореля группы GL(n,K) — образ одновременно триангуляризуем.
Теорема верна, в частности, для подгруппы Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.
Контрпример
Если поле K не замкнуто алгебраически, теорема может не выполняться. Стандартная единичная окружность, рассматриваемая как множество комплексных чисел <math> \{ x+iy \in \mathbb{C} \mid x^2+y^2=1 \} </math> с абсолютным значением единица, является одномерной коммутативной (а потому разрешимой) линейной алгебраической группой над вещественными числами, которая имеет двумерное представление в ортогональной группе SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. Здесь образ <math> \rho(z)</math> числа <math> z=x+iy </math> является ортогональной матрицей
- <math> \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}.</math>
Примечания
Литература
