Русская Википедия:Теорема Люрота

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной <math>k(x)</math>, содержащие поле констант <math>k</math>, другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Шаблон:Нп5, который доказал её в 1876 году.

Формулировки

Теорема. Пусть <math>k</math> — поле, а <math>k(x)</math> — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения <math>k(x)/k</math> имеет вид <math>k(f)</math> для некоторой рациональной функции <math>f</math>. Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть <math>k</math> — поле. Пусть <math>f:\mathbb P^1_k\to C</math> — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую <math>C</math> над <math>k</math>. Тогда <math>C</math> изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть <math>k</math> — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и <math>L</math> — подрасширение <math>k(x,y)/k</math>. Тогда <math>L</math> совпадает с <math>k</math> или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над <math>k</math>. Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Шаблон:Нп5.
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над <math>\mathbb C</math>.
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.