Русская Википедия:Теорема Майерса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Если кривизна Риччи полного <math>n</math>-мерного риманова многообразия <math>M</math> ограничена снизу положительной величиной <math>(n-1)k</math> при некотором <math>k</math>, то его диаметр не превосходит <math>\pi/\sqrt{k}</math>. Более того, если диаметр равен <math>\pi/\sqrt{k}</math>, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны <math>k</math>.

Следствия

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия <math>M</math>. В частности, универсальное накрытие <math>M</math> конеченолистно и значит фундаментальная группа <math>\pi_1M</math> конечна.

История

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны, (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Шаблон:Нп1.

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.

См. также

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)