Русская Википедия:Теорема Массельмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы

Файл:MusselmanTh.svg

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Косниты.

Пусть дан треугольник <math>T</math> с вершинами <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>. Пусть <math>A^*</math>, <math>B^*</math> и <math>C^*</math> — вершины треугольника отражений <math>T^*</math>, получаемого зеркальным отражением каждой вершины <math>T</math> относительно противоположной стороны. Пусть <math>O</math> — центр описанной окружности <math>T</math>. Рассмотрим 3 окружности <math>S_A</math>, <math>S_B</math> и <math>S_C</math>, проходящие через точки <math>A\,O\,A^*</math>, <math>B\,O\,B^*</math> и <math>C\,O\,C^*</math> соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке <math>M</math>, которая является инверсией относительно описанной вокруг <math>T</math> окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника <math>T</math>.

Общая точка <math>M</math> является точкой Гилберта треугольника <math>T</math>, которая перечислена как <math>X_{1157}</math> в Энциклопедии центров треугольника.

История

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году, и доказательство представлено ими в 1941 году. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом.

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> — вершины треугольника <math>T</math>, и <math>O</math> — центр описанной окружности. Пусть <math>H</math> — ортоцентр треугольника <math>T</math>, то есть пересечение трёх высот. Пусть <math>A'</math>, <math>B'</math> и <math>C'</math> — три точки на отрезках <math>OA</math>, <math>OB</math> и <math>OC</math>, такие что <math>OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC = t</math>. Рассмотрим 3 прямые <math>L_A</math>, <math>L_B</math> и <math>L_C</math>, перпендикулярные <math>OA</math>, <math>OB</math> и <math>OC</math> через точки <math>A'</math>, <math>B'</math> и <math>C'</math> соответственно. Пусть <math>P_A</math>, <math>P_B</math> и <math>P_C</math> — точки пересечения перпендикуляров с прямыми <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math> соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки <math>P_A</math>, <math>P_B</math> и <math>P_C</math> лежат на одной прямой <math>R</math>. Пусть <math>N</math> — проекция центра описанной окружности <math>O</math> на прямую <math>R</math>, а <math>N'</math> — точка на <math>ON</math>, такая что <math>ON'/ON = t</math>. Горматиг доказал, что <math>N'</math> является инверсией относительно описанной вокруг треугольника <math>T</math> окружности изогонального сопряжения точки <math>Q</math> на прямой Эйлера <math>OH</math>, такой что <math>QH/QO = 2t</math>.