Русская Википедия:Теорема Менелая
Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.
Формулировка
Если точки <math>A',B'</math> и <math>C'</math> лежат соответственно на сторонах <math>BC,CA</math> и <math>AB</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда
- <math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.</math>
где <math>\frac{AB'}{B'C}</math>, <math>\frac{CA'}{A'B}</math> и <math>\frac{BC'}{C'A}</math> обозначают отношения направленных отрезков.
Замечания
- В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
- <math>\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.</math>
Вариации и обобщения
- Тригонометрический эквивалент:
- <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1</math>, где все углы — ориентированные.
- В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
- <math>\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.</math>
- В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
- <math>\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.</math>
История
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]
Применения
- Теорема Сальмона
- Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.
См. также
- Двойное отношение
- Отношение направленных отрезков
- Пропорциональные отрезки
- Прямая Ньютона
- Теорема Чевы
- Теорема Ван-Обеля о треугольнике
Примечания
Ссылки
- Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
- Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- Шаблон:Книга
- Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
- Книга:Элементарная геометрия. Понарин
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
- ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
