Русская Википедия:Теорема Миди

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби <math>a/p</math> (где <math>p</math> — простое число) длина записи периода дроби состоит из <math>2n</math> цифр, то есть:

<math>\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}},</math>

то

<math>a_i+a_{i+n}=9</math>

<math>a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.</math>

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

<math>\frac1{17}=0,\overline{0588235294117647},</math> и <math>05882352+94117647=99999999.</math>

Расширенная теорема Миди

Пусть <math>h</math> — число цифр в периоде десятичной записи дроби <math>a/p</math> (где <math>p</math> — простое число). Если <math>k</math> — любой делитель числа <math>h</math>, теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди постулирует, что если период десятичной записи дроби <math>a/p</math> разделить на числа с <math>k</math> цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

<math>\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421} </math>

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

<math>052631+578947+368421=999999.</math>

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

<math>052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.</math>

Теорема Миди в системах с другим основанием

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления:

<math>\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8</math>

<math>032_8+745_8=777_8</math>

<math>03_8+27_8+45_8=77_8.</math>

Ссылки

• Шаблон:MathWorld