Русская Википедия:Теорема Мори

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Мори (Шаблон:Lang-en) — это случайное название следующего тригонометрического тождества

<math> \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}.</math>

Это частный случай более общего тождества

<math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

<math> \sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ) = \frac{\sqrt 3}{8}</math>.

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

<math> \operatorname{tg}(20^\circ) \cdot \operatorname{tg}(40^\circ) \cdot \operatorname{tg}(80^\circ) = \sqrt 3 = \operatorname{tg}(60^\circ).</math>

Доказательство

Используем известную формулу для синуса двойного угла

<math> \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).</math>

Выразив отсюда <math> \cos(\alpha) </math>, получим

<math> \cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}. </math>

Тогда имеем

<math>

\begin{align} \cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt] \cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\ & {}\,\,\, \vdots \\ \cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. \end{align} </math>

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

<math> \cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=

\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. </math>

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

<math> \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)}, </math>

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld