Русская Википедия:Теорема Моро

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Моро — это результат в выпуклом анализе. Она показывает, что достаточно хорошие выпуклые функционалы на гильбертовых пространствах дифференцируемы и производная хорошо аппроксимируется так называемой аппроксимацией Иосиды, которая определяется в терминах резольвенты.

Утверждение теоремы

Пусть <math>\varphi: H \to \R \cup \{+\infty\}</math> будет собственным выпуклым полунепрерывным снизу функционалом в гильбертовом пространстве H со значениями в расширенной числовой прямой. Пусть A означает <math> \partial \varphi</math>, субдифференциал <math>\varphi </math>. Для <math>\alpha > 0</math> пусть <math>J_\alpha</math> означает резольвенту:

<math>J_{\alpha} = (\mathrm{id} + \alpha A)^{-1};</math>

а <math>A_\alpha</math> означает аппроксимацию Иосиды для A:

<math>A_{\alpha} = \frac1{\alpha} ( \mathrm{id} - J_{\alpha} ).</math>

Для каждого <math>\alpha > 0</math> и <math>x \in H</math> положим

<math>\varphi_{\alpha} (x) = \inf_{y \in H} \frac1{2 \alpha} \| y - x \|^{2} + \varphi (y).</math>

Тогда

<math>\varphi_{\alpha} (x) = \frac{\alpha}{2} \| A_{\alpha} x \|^{2} + \varphi (J_{\alpha} (x))</math>,

<math>\varphi_\alpha</math> выпукла и дифференцируема по Фреше с производной <math>d\varphi+\alpha = A_\alpha</math>. Кроме того, для любого <math>x \in H</math>(поточечно), <math>\varphi_\alpha(x)</math> сходится к <math>\varphi(x)</math> при <math>\alpha \to 0</math>.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:MathSciNet (Предложение IV.1.8)