Русская Википедия:Теорема Мэйсона — Стотерса
Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году,[1] и Мейсона, который вновь открыл её после этого.[2]
Формулировка
Пусть <math>a(t), b(t), c(t)</math> — попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что <math>a + b = c</math> и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда
- <math>\max\{\deg(a), \deg(b), \deg(c)\} \leqslant \deg(\operatorname{rad}(abc)) - 1.</math>
Здесь <math>\operatorname{rad}f</math> — радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей <math>f</math>. Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена <math>f</math> это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у <math>f</math>; в этом случае <math>\deg\operatorname{rad}f</math> это просто число различных корней <math>f</math>.[3]
Примеры
- Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная <math>a', b', c'</math> ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики <math>p > 0</math> недостаточно требовать, чтобы все <math>a, b, c</math> были неконстантными. Например, тождество <math>1 + t^p = (1 + t)^p</math> даёт пример, где <math>\max\{\deg(a), \deg(b), \deg(c)\} = p</math>, а <math>\deg(\operatorname{rad}(abc)) = 2</math>.
- Если взять <math>a(t) = t^n, c(t) = (t + 1)^n</math>, то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
- Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если <math>a(t)^n + b(t)^n = c(t)^n</math> для попарно взаимно простых <math>a, b, c</math> над полем характеристики, не делящей <math>n</math>, и <math>n > 2</math>, то хотя бы один из <math>a, b, c</math> нулевой или все константы.
Доказательство
Из условия <math>a+b=c</math> следует, что <math>b'a-ba'=c'a-a'c</math> и <math>a'b-ab'=c'b-cb'</math>. Обозначим <math>W=a'b-ab'</math>. Отсюда следует, что <math>\text{НОД}(a,a'),\text{НОД}(b,b'),\text{НОД}(c,c')</math> делит <math>W</math>. Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит <math>W</math>.
Ясно также, что <math>W\neq 0</math>. От противного: если <math>W=0</math>, то <math>a'b=ab'</math>, значит <math>a</math> делит <math>a'</math>, поэтому <math>a'=0</math> (поскольку <math>\deg a > \deg a'</math> при любом неконстантном <math>a</math>). Аналогично получаем, что <math>b'=0,c'=0</math>, что противоречит условию.
Из обоих утверждений получаем, что
- <math>\deg\text{НОД}(a,a')+\deg\text{НОД}(b,b')+\deg\text{НОД}(c,c')\leqslant \deg W</math>
По определению <math>W</math> имеем <math>\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1</math> , значит
- <math>\deg\text{НОД}(a,a')+\deg\text{НОД}(b,b')+\deg\text{НОД}(c,c')\leqslant \deg a+\deg b-1</math>
Для любого многочлена <math>P</math> верно, что <math>\deg P - \deg\operatorname{rad}(P)\leqslant \deg \text{НОД}(P,P')</math>. Подставляя сюда <math>P=a,b,c</math> и подставляя в неравенство выше, получаем
- <math>\deg abc - \deg(\operatorname{rad}(a)\operatorname{rad}(b)\operatorname{rad}(c))\leqslant \deg a+\deg b-1</math>
мы получаем, что
- <math>\deg c\leqslant \deg\operatorname{rad}(abc)-1</math>
что и требовалось.
Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.[4]
Обобщения
Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.
Пусть <math>k</math> — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть <math>C/k</math> — гладкая проективная кривая рода <math>g</math>, и пусть <math>a, b \in k(C)</math> — рациональные функции на <math>C</math>, такие что <math>a + b = 1</math>, и пусть <math>S</math> — множество точек в <math>C(k)</math>, содержащее все нули и полюсы <math>a, b</math>. Тогда
- <math>\max\{\deg(a), \deg(b)\} \leqslant \max\{|S| + 2g - 2, 0\}.</math>
Здесь степень функции в <math>k(C)</math> это степень отображения, индуцированного из <math>C</math> в <math>P^1</math>.
Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.[5]
Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch[6] и независимо Brownawell и Массером,[7] которое даёт верхнюю оценку для уравнений <math>a_1 + \ldots + a_n = 1</math>, для которых верно, что нет подмножеств <math>a_i</math>, которые являются <math>k</math>-линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что
- <math>\max\{ \deg(a_1), \ldots, \deg(a_n) \} \leqslant \frac{1}{2} n(n - 1) \max\{|S| + 2g - 2, 0\}.</math>
Ссылки
Внешние ссылки
