Русская Википедия:Теорема Мюнтца — Саса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

Равномерная аппроксимация функции

Говорят, что функцию <math>f(x)</math> можно равномерно аппроксимировать полиномами <math>a_{k}x^{\lambda_{k}}</math> на интервале <math>(a, b)</math> с точностью <math>\epsilon</math>, если <math>\max_{a \leqslant x \leqslant b} \left | f(x) - \sum_{1}^{n} a_{k} x^{\lambda_{k}} \right | < \epsilon</math>.

Формулировка

Пусть <math>\lambda_{n}</math> - множество комплексных чисел с положительной вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать на интервале <math>(0, 1)</math> полиномами <math>C+\sum a_{n} x^\lambda_{n}</math>, если

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Re \lambda_{n}}{1 + | \lambda_{n}^{2} |} = \infty</math>.

Такая аппроксимация всякой непрерывной функции невозможна, если

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+ Re \lambda_{n}}{1 + | \lambda_{n}^{2} |} < \infty</math>.

См. также

• Теорема Саса