Русская Википедия:Теорема Мёнье
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Теоре́ма (или фо́рмула) Мёнье́[1][2] — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.
Формулировки
Существует несколько эквивалентных формулировок:
- Пусть <math>\kappa_\gamma</math> есть кривизна кривой <math>\gamma</math> в точке <math>P</math>, лежащей на поверхности. Пусть эта поверхность имеет в точке <math>P</math> в направлении, касательном к <math>\gamma</math>, нормальную кривизну <math>\kappa</math>, и угол между соприкасающейся плоскостью кривой <math>\gamma</math> в точке Р и нормалью к поверхности в <math>P</math> равен <math>\alpha</math>. Тогда
- <math>\kappa=\kappa_\gamma\cdot\cos\alpha</math>
- Центр кривизны любой кривой на поверхности есть проекция центра кривизны нормального сечения с той же касательной на главную нормаль этой кривой.
- В любой точке кривой скалярное произведение главной нормали кривой на единичную нормаль поверхности зависит только от направления кривой в этой точке и равно отношению значений первой и второй фундаментальных форм на векторе скорости кривой.
Замечания
- В частности, кривизна любого сечения поверхности не меньше кривизны нормального сечения с той же касательной.
История
Теорему анонсировал Жан Батист Мёнье в 1776 году, опубликовал в 1785 году[3].
Литература
- Норден А. П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматгиз, 1958, глава VII, § 89.
Ссылки
- Тимофеева Н. В. Задачи о кривизне на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности.
- Meusnier theorem Шаблон:Ref-en.
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Написание фамилии дано по справочнику: Шаблон:Книга
- ↑ Meusnier J. Mémoire sur la courbure des surface Шаблон:Wayback // Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par Divers Savants, & lûs dans ses Assemblées (Paris), 1785, v. 10, p. 477–510. Краткий англоязычный обзор: Truesdell C. Jean-Baptiste-Marie Charles Meusnier de la Place (1754–1793): an historical note Шаблон:Wayback // Meccanica, 1996, v. 31, issue 5, p. 607–610.
