Шаблон:Не путать
В теории игр, теорема о минимаксе описывает условия, при выполнении которых для функции <math>f:Z\times W\to \mathbb{R}</math> верно, что <math>\sup_{x\in Z}\inf_{y\in W} f = \inf_{y\in W} \sup_{x\in Z} f.</math> Первой теоремой такого рода стала теорема фон Неймана, доказанная в 1928 году. Именно с её доказательства началось развитие теории игр. Впоследствии её неоднократно обобщали и переформулировали. [1][2]
Формально, теорема фон Неймана утверждает, что
Шаблон:Рамка
Пусть <math>X \subset \mathbb{R}^n</math> и <math>Y \subset \mathbb{R}^m</math> ― компактныевыпуклые множества. Если функция <math>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}</math> непрерывна, выпукла в <math>X</math>, но вогнута в <math>Y</math>, т.е.
<math>f(\cdot,y):X\rightarrow\mathbb{R}</math> выпукла при любом заданном <math>y</math>, но
<math>f(x,\cdot):Y\rightarrow\mathbb{R}</math> вогнута при любом заданном <math>x</math>,
Если <math>f(x,y) = x^T A y</math> для конечной матрицы <math>A \in \mathbb{R}^{n \times m}</math>, то <math>\max_{x \in X}\min_{y \in Y} x^T A y =\min_{y \in Y}\max_{x \in X} x^T A y. </math>
