Русская Википедия:Теорема Новикова о компактном слое
Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.
Теорема Новикова о компактном слое на сфере <math>S^3</math>
Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере <math> S^3</math> имеет компактный слой, диффеоморфный тору <math> T^2</math> и ограничивающий область <math>D^2\times S^1</math> со слоением Риба.
Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на <math>S^3</math> имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором <math>T^2</math>.
Теорема Новикова о компактном слое на произвольном <math>M^3</math>
В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия <math>M^3</math>:
Теорема: Пусть на замкнутом многообразии <math>M^3</math> с заданным на нём гладким двумерным слоением <math>F</math> выполняется одно из условий:
- фундаментальная группа <math>\pi_1(M^3)</math> конечна,
- вторая гомотопическая группа <math>\pi_2(M^3)\ne 0</math>,
- существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
- существует слой <math>L\in F</math> такой, что отображение <math>\pi_1(L)\to\pi_1(M^3)</math>, индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.
Тогда <math>F</math> имеет компактный слой рода <math>g\le 1</math>. Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо <math>F</math> включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам <math>S^2</math> или проективным плоскостям <math>RP^2</math>.
В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:
Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии <math>M^3</math> с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.
Обобщение на случай негладкого слоения на <math>M^3</math>
В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса <math>C^\infty</math>.
В 1970 году было дано доказательство для класса <math>C^2</math>[1],
В 1975 году — для слоений класса <math>C^1</math>[2].
Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса <math>C^0</math>. Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры <math>C^0</math>-слоений на сферах <math>S^{2k+1}</math>, <math>k>1</math>, не имеющих компактных слоев[3].
Обобщение теоремы Новикова на сфере <math>S^3</math> на слоения с особенностями
В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере <math>S^3</math>. Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».
Теорема[4]: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.
- Если <math>s=c</math>, слоение включает рибовскую компоненту.
- Если <math>s>c</math>, то <math>s=c+2</math> и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере <math>S^2</math>.
- Если <math>s<c</math>, слоение может не иметь компактных слоев.
Литература
- С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
- И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
- D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.[1]
Примечания
- ↑ Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.— Ann. of Math., 1970, v. 91, p. 1—24.
- ↑ Plante J. F. Foliations with measure preserving holonomy.— Ann. of Math., 1975, v. 102, № 2, p. 327—361.
- ↑ Schweitzer P. A. Counterexample to the Seifert conjecture and opening leaves of foliations.— Ann. of Math., 1974, v. 100, № 2, p. 386—400.
- ↑ Wagneur E. A generalization of Novikov’s theorem to foliations with isolated generic singularities — Topology and its Appl., Proc. Conf. Mem. Univ. Newfoundland., St. John’s, Canada, 1973, v.12, New York, 1975, p.189—198
