Русская Википедия:Теорема Ньютона о сферической оболочке
Теоре́ма Нью́тона о сфери́ческой оболо́чке — два утверждения, связанных с гравитационным притяжением тонкой сферической оболочки с равномерно распределённой массой. Первая часть теоремы состоит в том, что такая сфера не придаёт ускорения телам, находящимся внутри неё. Вторая часть состоит в том, что такая сфера определённой массы притягивает внешние тела так же, как и материальная точка такой же массы, расположенная в центре сферы. Теорему доказал Исаак Ньютон.
Из этой теоремы, в частности, следует, что шары со сферически симметричным распределением массы притягиваются друг к другу так же, как и точечные тела.
Теорема
Теорема Ньютона состоит из двух утверждений, в обоих рассматривается сфера произвольного радиуса <math>R</math>, по поверхности которой равномерно распределена масса <math>M</math>. Первое утверждение гласит, что внутри сферы гравитационный потенциал везде одинаков — это означает, что ускорение, которое сфера придаёт телам внутри неё, равняется нулю. Вторая часть теоремы состоит в том, что гравитационный потенциал вне сферы, создаваемый ей, совпадает с гравитационным потенциалом, который бы создавала точечная масса <math>M</math>, помещённая в центр сферы взамен её. Это равносильно тому, что сфера притягивает внешние тела так же, как и точечная масса <math>M</math>, размещённая в центре сферы. Обе части теоремы доказал Исаак НьютонШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Вывод
Первую часть теоремы можно вывести следующим образом. Нужно рассмотреть точку внутри сферы и малый телесный угол <math>d\Omega</math>, направленный в две противоположные стороны. Площади на поверхности сферы, а значит, и заключённые в них массы <math>\delta m_1</math> и <math>\delta m_2</math>, которые пересекает такой телесный угол, пропорциональны квадрату расстояний от точки до соответствующих участков <math>r_1</math> и <math>r_2</math>. Тогда <math>\delta m_1 / r_1^2 = \delta m_2 / r_2^2\,.</math> Следовательно, для каждого малого телесного угла притяжение в противоположных направлениях оказывается одинаковым, а значит, суммарное ускорение внутри сферы также всюду равняется нулю. Поскольку гравитационное ускорение равняется градиенту гравитационного потенциала, то можно равносильно утверждать, что гравитационный потенциал внутри сферы всюду одинаковШаблон:Sfn.
Вторую часть теоремы удобнее выводить, вычисляя гравитационный потенциал <math>U</math> в точке <math>K</math> вне сферы на расстоянии <math>r</math> от её центра. Сначала можно рассмотреть пояс на сфере, который ограничен углами от <math>\theta</math> до <math>\theta + d\theta</math> между направлениями от центра сферы к точке на ней и направлением на точку <math>K</math>. Площадь поверхности такого слоя равняется <math>2 \pi R^2 \sin \theta d\theta</math>, поверхностную плотность можно обозначить как <math>\sigma = M / 4 \pi R^2</math>. Кроме того, его точки находятся на одном расстоянии <math>l</math> от <math>K</math>, поскольку пояс симметричен относительно оси, соединяющей центр сферы и точку <math>K</math>. Тогда потенциал <math>dU</math>, который создаётся поясом, можно выразить какШаблон:Sfn[1]:
- <math>dU = -\frac{G \cdot \sigma \cdot 2 \pi R^2 \sin \theta d\theta}{l}\,.</math>
С учётом известного <math>\theta</math>, по теореме косинусов можно выразить <math>l</math>Шаблон:Sfn:
- <math>l^2 = r^2 + R^2 - 2rR \cos \theta\,.</math>
При дифференцировании обеих частей получитсяШаблон:Sfn:
- <math>\frac{R \sin \theta d \theta}{l} = \frac{dl}{r}\,.</math>
Тогда выражение для потенциала можно записать в видеШаблон:Sfn:
- <math>dU = -\frac{G \cdot \sigma \cdot 2 \pi R}{r} dl\,.</math>
Потенциал от всей сферы можно получить как сумму потенциалов для всех поясов. При этом потенциал пропорционален <math>dl</math>, а от самой близкой к самой далёкой от <math>K</math> точки сферы <math>l</math> меняется на <math>2R</math>. Таким образом, при суммировании получаетсяШаблон:Sfn[1]:
- <math>U = -\frac{G \cdot \sigma \cdot 4 \pi R^2}{r} = -\frac{GM}{r}\,.</math>
Это значение соответствует гравитационному потенциалу точечной массы <math>M</math>, расположенной на месте центра сферической оболочки. Таким образом, тонкая сферическая оболочка с равномерным распределением массы притягивает тела так же, как точечная массаШаблон:Sfn.
Следствия
Можно рассмотреть шар, плотность которого зависит только от радиуса. В этом случае можно условно разделить его на множество тонких сферических оболочек с общим центром, каждая из которых удовлетворяет условию теоремы. Таким образом, можно сделать аналогичный вывод: шар со сферически симметричным распределением массы будет притягивать так же, как и точка той же массы, расположенная на месте центра шараШаблон:Sfn. Следовательно, закон всемирного тяготения для реальных сферически симметричных тел, таких как планеты или звёзды, можно использовать так же, как и для точечных масс[1][2].
Примечания
Литература
