Русская Википедия:Теорема Ньютона — Лейбница
Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.
Формулировка
Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид. Шаблон:Рамка Если функция <math>\textstyle f(x)</math> непрерывна на отрезке <math>\left [ a,b \right ]</math> и <math>\textstyle \Phi(x)</math> — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
- <math>\int\limits_a^b f(x) \, dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigg.\Phi(x)\Bigg|_a^b</math>
Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей. Шаблон:Рамка Если функция <math>\textstyle f(x)</math> интегрируема и имеет первообразную на отрезке <math>\left [ a,b \right ]</math>, <math>\textstyle \Phi(x)</math> — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
- <math>\int\limits_a^b f(x) \, dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigg.\Phi(x)\Bigg|_a^b</math>
Шаблон:Конец рамки Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная <math>x^2 \sin \frac{1}{x^2}</math>, дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или Шаблон:Iw).
Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция <math>f</math> определена на отрезке <math>[a;b]</math> за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция <math>F</math> называется обобщённой первообразной <math>f</math>, если она:
- Непрерывна на отрезке <math>[a; b]</math>
- Во всех точках <math>[a;b]</math>, за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
- Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна <math>f</math>.
Это определение не требует, чтобы производная <math>F</math> равнялась <math>f</math> во всех точках, где <math>F</math> дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.
Шаблон:Рамка Пусть <math>f</math> определена на <math>[a;b]</math> везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция <math>\textstyle f(x)</math> интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке <math>\left [ a,b \right ]</math>, <math>F(x)</math> — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
- <math>\int\limits_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \Bigg.F(x)\Bigg|_a^b</math>
Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:
- <math>\int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \bigg|_{-1}^1 = -1-1 = -2,</math> хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.
Причина ошибки: функции <math>-\frac{1}{x}</math> не является первообразной (даже обобщённой) для функции <math>\frac{1}{x^2}</math> на отрезке <math>[-1;1]</math> просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.
История
Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.
Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».
У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.
Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.
Значение
Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.
Интеграл Лебега
Функция <math>F(x):=C+\int\limits_{a}^{x} f(t)dt</math> представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции <math>f(x)</math>. Функция <math>F(x)</math> является абсолютно непрерывной.
Теорема (Лебега): <math>f(x)</math> абсолютно непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> тогда и только тогда, когда существует суммируемая на <math>[a,b]</math> функция <math>g</math> такая, что <math>f(x)=f(a)+\int\limits_{a}^{x} g(t)dt</math> при любом значении x от a до b.
Из этой теоремы вытекает, что если функция <math>f</math> абсолютно непрерывна на <math>[a,b]</math>, то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству[1]:
- <math>f(x)=f(a)+\int\limits_{a}^{x} f'(t)dt</math>, где <math>x\in [a,b]</math>.
Некоторые следствия
В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу[1].
Интегрирование по частям
Пусть <math>f</math> и <math>g</math> — абсолютно непрерывные функции на отрезке <math>[a,b]</math>. Тогда:
- <math>\int\limits_{a}^{b} f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int\limits_{a}^{b} f(x)g'(x)dx</math>.
Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[1].
Вариации и обобщения
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
- Шаблон:Книга
.gif){kind=link}