Русская Википедия:Теорема Нэша о регулярных вложениях
Шаблон:Значения Шаблон:Эта статья Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое <math>m</math>-мерное риманово многообразие <math>(V^m,\;g)</math> класса <math>C^r</math>, <math>3\leqslant r\leqslant\infty</math>, допускает изометрическое <math>C^r</math> вложение в <math>\R^n</math> для достаточно большого <math>n</math>.
Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку <math> n \geqslant m(m+1)(3m+11)/2</math>, которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для <math> n\geqslant m^2+10m+3</math>[1].
В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.[2] Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга[3] Теренсa Тао[4] и Ральфа Хоурда[5]
Вариации и обобщения
- Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для <math>C^1</math>-гладких вложений.
- Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
- Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.[6].
- Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее[7].
- Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой <math>(\R^2,g)</math> допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.[8]
- Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.
Примечания
Литература
- ↑ см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
- ↑ Matthias Günther, On the perturbation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69—77.
- ↑ Шаблон:Cite arXiv
- ↑ Terence Tao Notes on the Nash embedding theorem
- ↑ Ralph Howard Notes on Günther’s Method and the Local Version of the Nash Isometric Embedding Theorem
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
