Русская Википедия:Теорема Нэша — Мозера
Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции. Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера. На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.
Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.
Идея доказательства
Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.
Предположим, что <math>P</math> — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами, так что он определяет отображение <math>P\colon C^{k+1}\to C^k</math> для каждого <math>k</math>. Предположим, что при некоторой функции <math>f_0\in C^{k+1}</math> линеаризация <math>D_{f}P\colon C^{k+1}\to C^k</math> имеет правый обратный оператор <math>S_f\colon C^{k}\to C^k</math> для любой функции <math>f</math>, достаточно близкой к <math>f_0</math>.
Заметим, что композиция <math>S_f\circ D_fP</math> и теряет одну производную то есть отображает <math>C^{k+1}</math> в <math>C^k</math>. Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения <math>P(f)=g_\infty</math> терпят провал. То есть если <math>(f_n)</math> — последовательность функций определяемая итеративно
- <math>f_{n+1}=f_n+S_{f_n}\big(g_\infty-P(f_n)\big),</math>
то из <math>f_0=f\in C^{k+1}</math> следует, что <math>g_\infty-P(f_0)\in C^k</math>, и тогда <math>f_1\in C^{k}</math>. По тем же соображениям, <math>f_2\in C^{k-1}</math>, <math>f_3\in C^{k-2}</math>, и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.
Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор <math>\theta_n</math> который для данной функции <math>f</math>, возвращает гладкую функцию <math>\theta_n(f_n)</math> близкую к исходной, если <math>n</math> велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона
- <math>f_{n+1}=f_n+S_{f_n}\big(\theta_n(g_\infty-P(f_n))\big).</math>
Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности.
При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению <math>f_\infty</math>; то есть <math>P(f_\infty)=g_\infty</math>.
Литература
