Русская Википедия:Теорема Пайерлса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.

Формулировка

Пусть <math>H</math> есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы, <math>\left \{ \Phi_n \right \}</math> есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы, <math>Q</math> - статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:

<math>Q \geqslant \sum_n e^{-\beta(\Phi_n, H \Phi_n)} (1)</math>

Равенство имеет место в том случае, когда <math>\left \{ \Phi_n \right \}</math> есть полная система собственных функций оператора <math>H</math>.

Доказательство

Пусть <math>\left \{ \Phi_n \right \}</math> есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма <math>Q</math> удовлетворяет тождеству

<math>Q \equiv \sum_n (\Phi_n, e^{-\beta(\Phi_n, H\Phi_n)})</math>.

Перепишем доказываемое равенство <math>(1)</math> в виде:

<math>Q \geqslant q</math>,

где

<math>q \equiv \sum_n e^{-\beta(\Phi_n, H \Phi_n)}</math>

Пусть <math>\Psi_n</math> есть полная система ортонормированных собственных функций оператора <math>H</math>:

<math>H\Psi_n=E_n\Psi_n</math>.

Поскольку оператор <math>H</math> эрмитов, собственные значения <math>E_n</math> действительны. Существует унитарное преобразование <math>S_{nm}</math>, переводящее <math>\left \{ \Psi_n \right \}</math> в <math>\left \{ \Phi_n \right \}</math>:

<math>\Phi_n = \sum_m S_{nm} \Psi_m</math>,

где <math>\left \{ S_{nm} \right \}</math> - совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:

<math>\sum_l S_{ln}^{*} S_{lm} = \sum_l S_{nl}^{*} S_{ml} = \delta_{nm}</math>.

Поэтому

<math>Q=\sum_{n}(\Phi_n, e^{-\beta H}\Phi_n) = \sum_{n}(\Psi_n, e^{-\beta H}\Psi_n) = \sum_n e^{-\beta E_n}</math>.

Справедливо уравнение:

<math>Q-q=\sum_n \left ( \sum_{l} |S_{nl}|^2 e^{-\beta E_l} - e^{-\beta \sum_{l} |S_{nl}|^2 E_l} \right ) (2)</math>.

Для любого <math>n</math> следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:

<math>\overline{E} \equiv \sum_l |S_{nl}|^2 E_l</math>,

<math>\overline{f(E)} \equiv \sum_l |S_{nl}|^2 e^{-\beta E_l}</math>.

В уравнении <math>(2)</math> каждый член суммы имеет вид <math>\overline{f(E)} - f(\overline{E})</math> и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма <math>Q-q \geqslant 0</math>, что завершает доказательство теоремы.

Лемма

Пусть <math>\left\{ x_{n} \right\}</math> есть совокупность действительных чисел, <math>\left\{ c_{n} \right\}</math> есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям <math>c_n \geqslant 0</math> и <math>\sum_n c_n = 1</math>, <math>\backprime f (x) \geqslant 0</math>. Обозначим по определению <math>\overline{f(x)} \equiv \sum_n c_n f(x_n)</math> для любой функции <math>f(x)</math>. Тогда выполняется неравенство:

<math> \overline{f(x)} \geqslant f(\overline{x}) </math>.

По теореме о среднем значении:

<math>f(x)=f(\overline{x}) + (x-\overline{x}) f'(\overline{x})+\frac{1}{2}(x-\overline{x})^2 f (x_1)</math>, где <math>x_1</math> - фиксированное действительное число.

Используя условие <math>\sum_n c_n = 1</math> получаем:

<math>\overline{f(x)}=f(\overline{x}) + \frac{1}{2}\overline{(x-\overline{x})^2} f (x_1)</math>.

Второй член здесь не отрицателен, потому что <math>c_n \geqslant 0</math> и <math> f(x) \geqslant 0</math>.

Лемма доказана.

Литература

• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.