Русская Википедия:Теорема Пеано
Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что Шаблон:Теорема
Доказательство
Уравнение <math>\frac {dx} {dt} = f(t,x)</math> с начальным условием <math>x(t_0)=x_0</math> эквивалентно интегральному уравнению <math>x(t) = x_0 + \int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau</math>.
Рассмотрим оператор A, определенный равенством <math>A(x) \equiv x_0 + \int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau</math> в пространстве <math>C[t_{0}-h,t_{0}+h]</math> на шаре <math>S_b : ||x-x_0|| \leqslant b</math>, который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.
Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность <math>\mathcal {f} x_n(t) \mathcal {g}</math>, принадлежащая шару <math>|x-x_0| \leqslant b</math>, равномерно сходится к функции <math>x(t) \in S_b</math>, то в силу непрерывности функции <math>f(t,x)</math> имеем, что <math>f(t,x_n(t)) \rightarrow f(t, x(t))</math> равномерно на <math>[t_0-h, t_0+h]</math>. При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что <math>Ax_n \rightarrow Ax</math>, то есть оператор A непрерывен на шаре <math>S_b</math>.
Для любого элемента <math>x(t) \in S_b</math> выполняется неравенство <math>|Ax(t)| \leqslant |x_0|+|\int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau \leqslant |x_0| + \beta |h|</math>, то есть множество значений оператора <math>A</math> ограничено.
Если <math>t_1</math> и <math>t_2</math> — любые точки отрезка <math>[t_0-h, t_0+h]</math>, то для любой функции <math>x(t) \in S_b</math> будем иметь <math>|Ax(t_{2}) - Ax(t_{1})| \leqslant |\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} f(\tau, x(\tau)) d\tau | \leqslant \beta |t_{2}-t_{1}|</math>, то есть множество значений оператора <math>A</math> равностепенно непрерывно.
В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор <math>A</math> преобразует шар <math>S_b : ||x-x_0|| \leqslant b</math> в компактное множество.
Это доказывает полную непрерывность оператора <math>A</math>.
Оператор <math>A</math> преобразует шар <math>S_b : ||x-x_0|| \leqslant b</math> в себя. Действительно, <math>|Ax(t) - x_0)| \leqslant |\int \limits_{t_{0}}^{t} f(\tau, x(\tau)) d\tau | \leqslant \beta h \leqslant \beta \frac{b}{\beta} = b</math>.
Таким образом, оператор <math>A</math> удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция <math>\tilde {x}(t)</math>, что <math>\tilde {x}(t) \equiv x_0 + \int \limits_{t_{0}}^{t} f(\tau, \tilde {x}(\tau)) d\tau </math>.
Эта функция <math>\tilde {x}(t)</math> будет решением уравнения <math>\frac {dx} {dt} = f(t,x)</math>, удовлетворяющим начальному условию <math>x(t_0)=x_0</math>.
См. также
- Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
- Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
Литература
- Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.
