Русская Википедия:Теорема Пенлеве

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году[1][2]

Формулировка

Уравнения первого порядка <math>P(w^{'}, w, z)=0</math>, алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть <math>P</math> — многочлен относительно <math>w</math> и <math>w^{'}</math> и аналитическая функция от <math>z</math>), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменногоШаблон:Sfn. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу Шаблон:Sfn. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точкиШаблон:Sfn. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой Шаблон:Sfn.

Доказательство

Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге Шаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  1. Painleve P., Sur les lignes singulieres des fonctions analytiques (These), Paris, 1887
  2. Ann. de la Fac. des Sc. de Toulouse, 1888