Русская Википедия:Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка

Пусть <math>y'=f_t(y)</math> — обыкновенное дифференциальное уравнение, где <math>y=y(t)\in \mathbb{R}^n</math>, <math>f_t(y) </math> — векторное поле зависящее от параметра <math>t</math>. Если отображение <math>(t,y)\mapsto f_t(y)</math> непрерывно и для любого фиксированного <math>t</math>, и отображение <math>y\mapsto f_t(y) </math> — липшицево, то для любого <math>y_0</math> существует <math>\varepsilon > 0</math> такое, что на промежутке <math>[t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon]</math> существует решение уравнения с начальными данными <math>y(0)=y_0</math>.

Замечания

• Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

<math>y(t) - y(t_0) = \int\limits_{t_0}^t f(s,y(s)) ds</math>

Вариации и обобщения

• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Ссылки

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
• Шаблон:Cite journal (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)