Русская Википедия:Теорема Пика (комплексный анализ)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка

Пусть <math>w=f(z)</math> — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

<math>Q=\left\{z\in\Complex:|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.</math>

Тогда для любых точек <math>z_1</math> и <math>z_2</math> круга <math>Q</math> расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

<math>d(w_1,\;w_2) \leq d(z_1,\;z_2), \ \ w_1=f(z_1), \ w_2=f(z_2)</math>.

Более того, равенство достигается только в том случае, когда <math>w=f(z)</math> есть дробно-линейная функция, отображающая круг <math>Q</math> на себя.

Замечания

Поскольку

<math>\mathop{\rm th}[\tfrac12\cdot d(z,\;w)]=\frac{\left|z-w\right|}{\left|1-\overline{z}\cdot w\right|},</math>

условие

<math>d(w_1,\;w_2)\leqslant d(z_1,\;z_2)</math>

эквивалентно следующему неравенству:

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|

\leqslant \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}.</math> Если <math>z_1</math> и <math>z_2</math> бесконечно близки, оно превращается в

<math>\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2}\leqslant\frac{1}{1-\left|z\right|^2}.</math>

Литература

• Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.