Русская Википедия:Теорема Планшереля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного <math>f(x)</math>, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем <math>L^{2}</math> на интервале <math>\left ( -\infty, \infty \right )</math>, существует такая функция действительного переменного <math>g(x)</math>, также принадлежащая <math>L^{2}</math> на интервале <math>\left ( -\infty, \infty \right )</math>, что

<math>\lim_{A \to \infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left | g(u) - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-A}^{A} f(x) e^{iux} dx \right |^{2} du = 0</math>.

Также выполняются равенства:

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \left | g(u) \right |^{2} du = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left | f(x) \right |^{2} dx</math>

и

<math>\lim_{A \to \infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left | f(x) - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-A}^{A} g(u) e^{-iux} du \right |^{2} dx = 0</math>.

Функция <math>g(u)</math>, являющаяся преобразованием Фурье функции <math>f(x)</math>, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль .

См. также

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)

Литература

• C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.