Русская Википедия:Теорема Пойнтинга
Теорема Пойнтинга (Шаблон:Lang-en) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:
- <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E},</math>
где <math>u</math> — плотность энергии: <math>u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right)</math>;
- <math>\varepsilon_0</math> — электрическая постоянная, <math>\mu_0</math> — магнитная постоянная;
- <math>\nabla</math> — оператор набла; S — вектор Пойнтинга;
- J — плотность тока и E — напряженность электрического поля.
Теорема Пойнтинга в интегральной форме:
- <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \ dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \ d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV</math>,
где <math>\partial V</math> — поверхность, ограничивающая объём <math>V</math> .
В технической литературе теорема обычно записывается так (<math>u</math> — плотности энергии):
- <math>
\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0 </math>,
где <math>\varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> — плотность энергии электрического поля, <math>\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math> — плотность энергии магнитного поля и <math>\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}</math> — мощность джоулевых потерь в единице объёма.
Вывод
Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):
- <math>\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.</math>
Домножив обе части уравнения на <math>\mathbf{B}</math>, получим:
- <math>\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.</math>
Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:
- <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.</math>
Домножив обе части уравнения на <math>\mathbf{E}</math>, получим:
- <math>\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} + \mathbf{E} \cdot \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.</math>
Вычитая первое из второго, получим:
- <math>
\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. </math>
Наконец:
- <math>
- \nabla\cdot \ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. </math>
Поскольку вектор Пойнтинга <math>\mathbf{S}</math> определяется как:
- <math> \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} </math>
это равносильно:
- <math>
\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0. </math>
Обобщение
Механическая энергия описанной выше теоремы
- <math>
\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t), </math>
где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α
- <math>
u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)), </math>
<math>\mathbf{S_m}</math> — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:
- <math>
\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)). </math>
Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии
- <math>
\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e + \mathbf{S}_m\right) = 0, </math>
Альтернативные формы
Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока <math>\mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}</math> можно выбрать форму Авраама <math>\mathbf{E} \times \mathbf{H}</math>, форму Минковского <math>\mathbf{D} \times \mathbf{B}</math>, или какую-либо другую.
