Русская Википедия:Теорема Пуанкаре о векторном поле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии <math>M</math> определено гладкое векторное поле <math>V</math>, имеющее конечное число изолированных особых точек <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math>. Тогда

<math>\sum_{i=1}^{n} J_{A_i}(V)=\chi(M),</math>

здесь <math>J_{A_i}(V)</math> — индекс точки <math>A_i</math> относительно поля <math>V</math> и число <math>\chi(M)</math> — эйлерова характеристика многообразия <math>M</math>.

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году.

Вариации и обобщения

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.