Русская Википедия:Теорема Пуассона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.

Формулировка

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где <math>p_n</math> — вероятность «успеха», <math>\mu_n</math> — количество «успехов».

Тогда если

1. <math>\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda ; </math>
2. <math>\lambda > 0, </math>

то <math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} . </math>

Доказательство

Используя формулу Бернулли, получим, что

<math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = C_n^m (p_n)^m (1-p_n)^{n-m} = \cfrac {n!} {m!(n-m)!} \bigg( \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} = </math>

<math> = \cfrac {1} {m!} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} \bigg( \lambda + o \bigg( \lambda \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} , </math>

так как

<math>\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda \; \Leftrightarrow \; p_n = \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)</math>

при

<math>\lim_{n \to \infty} \cfrac {o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)} {\cfrac {\lambda} {n}} = 0 . </math>

Но так как

1. <math>\lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} = \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1)} {n} \bigg) \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+2)} {n} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n)} {n} \bigg) = 1 ; </math>
2. <math>\lim_{n \to \infty} (\lambda + o(\lambda))^m = \lambda ^m ; </math>
3. <math>\lim_{n \to \infty} \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} = e^{-\lambda} , </math>

то полученное равенство превращается в

<math>\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} . </math>

Q.E.D.