Русская Википедия:Теорема Пэли — Винера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Пэли-Винера — совокупность всех целых функций <math>f(z)</math> экспоненциального типа <math>\leq\sigma</math>, для которых <math>\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx<\infty</math> совпадает с множеством функций <math>f(z)</math>, допускающих представление <math>f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\sigma}^{+\sigma}e^{izu}\phi(u)du</math>, где <math>\phi(u) \in L^{2}(-\sigma,+\sigma)</math>.

Пояснения

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция <math>f(z)</math>, которая при любом <math>z</math> удовлетворяет неравенству вида <math>|f(z)|\leq A e^{B|z|}</math>, где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции <math>f(z)</math> называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле <math>\sigma=\bar{\lim_{|z|\to\infty}}\frac{ln|f(z)|}{|z|}</math>. Под <math>L^{2}(-\sigma,+\sigma)</math> понимают совокупность всех измеримых в интервале <math>(-\sigma,+\sigma)</math> функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега.

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций

Если обобщенная функция <math>F</math> сосредоточена в области <math>G_{b}:|x| \leq b</math>, то её преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа <math>\leq b</math>. Наоборот, пусть <math>f(z)=f(z_{1},...z_{n})</math> — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа <math>\leq b</math>, которая возрастает при <math>|x| \to \infty</math> не быстрее некоторой степени <math>|x|^q</math>, и <math>(f,\phi)=\int f(x) \phi(x) dx</math> — соответствующий этой функции функционал в пространстве <math>Z</math>. Тогда преобразование Фурье <math>\hat f</math> функционала <math>f</math> сосредоточено в области <math>G_b</math>.

См. также

• Аппроксимация функций
• Преобразование Фурье

Литература

1. Норберт Винер «Я-математик», М., 1964 г., 356 стр., тир. 50000 экз., В 48 51 (09) УДК 510 (092), гл. 8 «Снова дома 1932—1933», с. 160—168;
2. Винер Н., Пэли Р. «Преобразование Фурье в комплексной области», М., Наука, 1964;
3. Н. И. Ахиезер «Лекции по теории аппроксимации», изд. 2-е, М., «Наука», 1965, 517.2 А 95 УДК 517.51, гл. 4 «Некоторые экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа», п. 82 «Теорема Винера-Пэли», с. 179-82;
4. «Функциональный анализ», изд. 2, ред. С. Г. Крейн, гл. 10 «Обобщенные функции», п. 4 «Преобразование Фурье обобщенных функций», пп 7 «Теорема Пэли-Винера-Шварца», с 511;