Русская Википедия:Теорема Радона — Никодима

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

Формулировка

Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> — пространство с мерой. Предположим, что <math>\mu</math> — <math>\sigma</math>-конечна. Если мера <math>\nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R}</math> абсолютно непрерывна относительно <math>\mu</math> <math>(\nu \ll \mu)</math>, то существует измеримая функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math>, такая что

<math>\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},</math>

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция <math>A\mapsto\nu(A)</math> обладает свойствами:

1. <math>\nu</math> определена на борелевской алгебре <math>S_{\mu}</math>.
2. <math>\nu</math> аддитивна; то есть, для любого разложения <math>A = \bigcup_{n} A_{n}</math> множества <math>A \in S_{\mu}</math> на попарно непересекающиеся множества <math>A_{n} \in S_{\mu}</math> выполняется равенство

   <math>\nu(A) = \sum_{n} \nu(A_{n})</math>

3. <math>\nu</math> абсолютно непрерывна; то есть, из <math>\mu(A)=0</math> вытекает <math>\nu(A)=0</math>.

то она представима в виде

<math>\nu(A) = \int_{A} f(x) d \mu,</math>

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция <math>f</math>, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры <math>\nu</math> относительно меры <math>\mu</math>. Пишут:

  <math>f = \frac{d\nu}{d \mu}.</math>

  • Если <math>(X,\;\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\;\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right)</math> — <math>k</math>-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, <math>\nu = \mathbb{P}^{X}</math> — распределение некоторой случайной величины <math>X</math>, а <math>\mu = m</math> — мера Лебега на <math>\mathbb{R}^k</math>, то производная Радона — Никодима меры <math>\mathbb{P}^X</math> относительно меры <math>m</math> называется плотностью распределения случайной величины <math>X</math>.

Свойства

• Пусть <math>\lambda,\;\mu,\;\nu</math> — <math>\sigma</math>-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве <math>(X,\;\mathcal{F})</math>. Тогда если <math>\mu \ll \lambda</math> и <math>\nu \ll \lambda</math>, то

<math>\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.</math>

• Пусть <math>\nu \ll \mu \ll \lambda</math>. Тогда

<math> \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}</math> выполнено <math>\lambda</math>-почти всюду.

• Пусть <math>\mu \ll \lambda</math> и <math>g\colon X \to \mathbb{R}</math> — измеримая функция, интегрируемая относительно меры <math>\mu</math>, то

<math> \int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).</math>

• Пусть <math>\mu \ll \nu</math> и <math>\nu \ll \mu</math>. Тогда

<math> \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.</math>

• Пусть <math>\nu</math> — заряд. Тогда

<math> {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.</math>

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.