Русская Википедия:Теорема Райкова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math> независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина <math>\xi</math> имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин <math>\xi=\xi_1+\xi_2</math>. Тогда распределения случайных величин <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math> являются смещёнными распределениями Пуассона.

Вариации и обобщения

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть <math>X</math> — локально компактная абелева группа. Обозначим через <math>M^1(X)</math> сверточную полугруппу вероятностных распределений на <math>X</math>, а через <math>E_x</math> — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке <math>x\in X</math>. Пусть <math>x_0\in X</math>, <math>\lambda>0</math>.

Распределением Пуассона, порождённым мерой <math>\lambda E_{x_0}</math>, называется смещённым распределения вида

<math>

\mu=e(\lambda E_{x_0})=e^{-\lambda}(E_0+\lambda E_{x_0}+\lambda^2E_{2x_0}/2!+\ldots+\lambda^nE_{nx_0}/n!+\dots). </math>

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть <math>\mu</math> — распределение Пуассона, порождённое мерой <math>\lambda E_{x_0}</math>. Пусть <math>

\mu=\mu_1*\mu_2, </math> где <math>\mu_j\in M^1(X)</math>. Если <math>x_0</math> — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то <math>\mu_j</math> также является распределением Пуассона. Если же <math>x_0</math> — элемент конечного порядка <math>n</math>, <math>n\ne 2</math>, то <math>\mu_j</math> может быть не распределением Пуассона.