Русская Википедия:Теорема Рауса — Гурвица

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Другие значения термина Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. ГурвицаШаблон:Sfn.

Условные обозначения

Пусть <math>f(z)</math> — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени <math>n</math>. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии <math>z=ic</math> где <math>i</math> — мнимая единица и <math>c</math> — вещественное число). Давайте обозначим <math>P_0(y)</math> (многочлен степени <math>n</math>) и <math>P_1(y)</math> (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем <math>n</math>) через <math>f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)</math>, относительно вещественной и мнимой части <math>f</math> мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

  • <math>p</math> — число корней <math>f</math> в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • <math>q</math> — число корней <math>f</math> в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • <math>\Delta\arg f(iy)</math> — изменение аргумента <math>f(iy)</math>, когда <math>y</math> пробегает от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>;
  • <math>w(x)</math> — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из <math>P_0(y)</math> и <math>P_1(y)</math> с помощью алгоритма Евклида;

Пусть <math>f(z)</math> — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. <math>f</math> он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим <math>f</math> в сумму:

<math>f(z)=g(z^2)+zh(z)</math>.

Обозначим коэффициенты <math>g</math> как <math>a_j^0</math>, а <math>h</math> — как <math>a_j^1</math>. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена <math>g</math> является <math>a_0^0</math>.

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

<math>p-q=\frac{1}{\pi}\Delta\arg f(iy)=-I_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\infty)-w(-\infty).</math>

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента <math>f(iy)</math> положительно, тогда <math>f(z)</math> имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство <math>p-q=w(+\infty)-w(-\infty)</math> может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть <math>p+q</math>, а <math>w</math> из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае <math>w</math> относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Шаблон:Main Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

<math>H_f=\begin{pmatrix}a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} & &\\

a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} & &\\ 

     & a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} &\\
     & a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} &\\
     & \vdots &      &       & \vdots &\\
     &        &      &       & \dots  & a_n \end{pmatrix},</math>

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если <math>f</math> — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Шаблон:Main Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами <math>g</math> и <math>h</math>, определяет последовательность <math>a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n</math> ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если <math>f</math> — многочлен Гурвица, и наоборот.

  • Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
  • Обратите также внимание, что в записи <math>a_0^i</math> число <math>i</math> — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Шаблон:Дополнить Применив метод Гаусса к матрице <math>H_f</math>, мы получим диагональную матрицу <math>H_f^*</math>. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы <math>h_{j,j}^*</math> трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу <math>H_f</math>, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты <math>h^*_{j,j}</math> соответствуют коэффициентам <math>a_0^j</math>, мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как <math>f(z)</math> — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда <math>p-q=n</math>. Таким образом получаем условия на коэффициенты <math>f(z)</math>, накладывая дополнительные условия <math>w(+\infty)=n</math> и <math>w(-\infty)=0</math>.

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Рауса_—_Гурвица&oldid=10919971