Русская Википедия:Теорема Реллиха

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математическом анализе и дифференциальном исчислении теорема Реллиха — теорема о целых решениях дифференциального уравнения, доказанная в 1940 году Францем Реллихом.

Формулировка

Шаблон:Рамка Пусть в дифференциальном уравнении

<math>\dot{x}=f(x,t)</math>

правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по <math>x,t</math> (целой функцией). Если имеется два решения <math>x=u(t)</math> и <math>x=v(t)</math>, которые являются целыми функциями <math>t</math>, то любое другое целое решение <math>x=w(t)</math> имеет вид

<math> w(t)=u(t)+(v(t)-u(t))c</math>

при надлежащим образом выбранной константе <math>c</math>. Если <math>f(x,t)</math> не является линейной функцией <math>x</math>, то имеется не более чем счётное число констант <math>c_n</math>, при которых выражение

<math> u(t)+(v(t)-u(t))c_n</math>

является решением и множество <math>c_n</math> не может иметь конечной предельной точки. Шаблон:Конец рамки

Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений <math>u(t)+(v(t)-u(t))c_n</math> при любых заданных <math>u(t), v(t)</math>, не равных друг другу ни при каком значении <math>t</math>, и любом наборе чисел <math>c_n</math> (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).

Следствия

Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение <math>x=x(t,C)</math> нелинейного уравнения <math>\dot x= f(x,t)</math> с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга