Русская Википедия:Теорема Решетняка о мажоризации

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка

Пусть <math>X</math> — CAT(κ) пространство и <math>\gamma\colon\mathbb{S}^1\to X</math> замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если <math>\kappa>0</math>, предположим дополнительно, что <math>\gamma</math> короче чем <math>\tfrac{2\cdot\pi}{\sqrt{\kappa}}</math>. Тогда найдётся выпуклая фигура <math>\Phi</math> в <math>\kappa</math>-плоскости сравнения с периметром равным длине <math>\gamma</math> и короткое отображение <math>s:\Phi\to X</math> такое, сужение <math>s|_{\partial \Phi}</math> совпадает с <math>\gamma</math>.

Замечания

• Отображение <math>s:\Phi\to X</math> в формулировке называется мажоризацией <math>\gamma</math>.
• Выпуклая фигура <math>\Phi</math> называется мажоризатором <math>\gamma</math>.

Следствия

• Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше <math>2\cdot\pi</math>.

Литература

• Шаблон:Статья