Русская Википедия:Теорема Риба об устойчивости
В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.
Теорема Риба о локальной устойчивости
Теорема[1]: Пусть <math>F</math> гладкое (класса <math>C^1</math>) слоение коразмерности <math>k</math> на многообразии <math>M</math> и <math>L</math> компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя <math>L</math> содержит меньшую окрестность <math>U</math>, состоящую из целых слоев слоения <math>F</math> (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция <math>\pi: U\to L</math> такая, что для каждого слоя <math>L'\subset U</math>, отображение <math>\pi|_{L'}:L'\to L</math> является конечнолистным накрытием и для каждой точки <math>y\in L</math>, прообраз <math>\pi^{-1}(y)</math> гомеоморфен диску <math>D^k</math> и трансверсален слоям <math>F</math>.
В частности, если слой <math>L</math> односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению <math>\{L\times t\}</math> произведения <math>L\times D^k</math>.
Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.[2][3]
Теорема Риба о глобальной стабильности
В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.
Теорема[1]: Пусть <math>F</math> гладкое (класса <math>C^1</math>) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии <math>M</math>. Если <math>F</math> имеет компактный слой <math>L</math> с конечной фундаментальной группой, то все слои <math>F</math> также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение <math>F</math> трансверсально ориентируемо, то каждый слой <math>F</math> диффеоморфен <math>L</math>; при этом многообразие <math>M</math> является тотальным пространством расслоения <math>f:M\to S^1</math> над окружностью <math>S^1</math> со слоем <math>L</math>.
Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.[4]. В этом случае, из неё следует теорема Риба о сфере.
Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:
- При наличии специальной трансверсальной структуры:
Теорема[6]: Пусть <math>F</math> полное конформное слоение коразмерности <math>k\ge 3</math> на связном многообразии <math>M</math>. Если <math>F</math> имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои <math>F</math> являются компактными и имеют конечную группу голономии.
- Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:
Теорема[7]: Пусть <math>F</math> голоморфное слоение коразмерности <math>k</math> на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если <math>F</math> имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои <math>F</math> являются компактными и имеют конечную группу голономии.
Литература
- И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
- Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 G. Reeb, Шаблон:Книга
- ↑ T.Inaba, <math>C^2</math> Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983 [2]
- ↑ J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.[3] Шаблон:Wayback
- ↑ C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
- ↑ W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
- ↑ R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [4] Шаблон:Wayback
- ↑ J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. [5]
